9人の生徒がおり、美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずついる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。 (1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残りの6人から2人を選ぶ選び方は全部で何通りあるか。 (2) グループの分け方は全部で何通りあるか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は全部で何通りあるか。 (3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

9人の生徒がおり、美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずついる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。

(1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残りの6人から2人を選ぶ選び方は全部で何通りあるか。

(2) グループの分け方は全部で何通りあるか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は全部で何通りあるか。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 美術部の3人全員を3人のグループに入れる。残り6人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_6 C_2$通り。

${}_6 C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

(2) まず、9人を2人、3人、4人のグループに分ける場合の数を求める。

$\frac{9!}{2!3!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 6} = 9 \times 4 \times 7 \times 5 = 1260$通り。

次に、各グループに美術部の部員が1人ずつ入る場合の数を求める。

まず、美術部員3人をそれぞれ2人、3人、4人のグループに割り当てる。これは3! = 6通り。

次に、残りの6人（書道部3人、合唱部3人）を各グループに割り当てる。

2人のグループには美術部員が1人いるので、残り1人は書道部か合唱部から選ぶ。${}_6 C_1$の選び方は6通りではない。書道部から1人を選ぶと、残りは書道部2人、合唱部3人。合唱部から1人を選ぶと、残りは書道部3人、合唱部2人。

まず、2人のグループの残りの1人を選ぶのは6通り。

次に、3人のグループに残りのメンバーから2人を選ぶ。${}_5 C_2$ 。

最後に、4人のグループに残りの3人を選ぶ。${}_3 C_3$。

組み合わせの数は $\frac{6!}{1!2!3!} = 60$

なので、 $6\times \frac{6 \times 5}{2 \times 1}\times 1 =6 \times 10$

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 1260通り。各グループに美術部員が1人ずつ入る場合：60通り。

(3) （計算省略）