1から6までの番号が書かれた6つの座席に、大人3人（A, B, C）と子供3人（d, e, f）が座る場合の数を求める問題です。 (1) 6人の座り方の総数 (2) 大人が奇数番号、子供が偶数番号の座席に座る座り方の数、およびAとd, Bとe, Cとfが同じ列に座る座り方の数 (3) 大人が座る座席の最大番号が奇数である座り方の数、およびどの列にも子供が1人ずつ座る座り方の数

1. 問題の内容

1から6までの番号が書かれた6つの座席に、大人3人（A, B, C）と子供3人（d, e, f）が座る場合の数を求める問題です。

(1) 6人の座り方の総数

(2) 大人が奇数番号、子供が偶数番号の座席に座る座り方の数、およびAとd, Bとe, Cとfが同じ列に座る座り方の数

(3) 大人が座る座席の最大番号が奇数である座り方の数、およびどの列にも子供が1人ずつ座る座り方の数

2. 解き方の手順

(1) 6人の座り方の総数

これは6人の順列なので、$6!$ を計算します。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

(2) 大人が奇数、子供が偶数

奇数の座席は1, 3, 5の3つ、偶数の座席は2, 4, 6の3つです。大人が奇数の座席に座る方法は$3!$通り、子供が偶数の座席に座る方法は$3!$通りです。したがって、$3! \times 3!$を計算します。

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$

Aとd, Bとe, Cとfが同じ列

1列、2列、3列のいずれかに、(A,d), (B,e), (C,f)が座る組み合わせを考えます。

各ペアがどの列に座るかを決めるのは$3!$通り。各列の中で、大人がどちらに座るかによって各ペアにつき2通り。よって、$2 \times 2 \times 2 = 8$通り。

したがって、$3! \times 2 \times 2 \times 2 = 6 \times 8 = 48$

(3) 大人が座る座席の最大番号が奇数

大人が座る座席の組み合わせで最大番号が奇数になるのは、3つとも奇数、または最大が5であるとき。

3つとも奇数の場合：1, 3, 5の座席にA, B, Cが座る。これは$3! = 6$通り。

最大が5の場合：残りの2人は1, 2, 3, 4から選ぶ。

組み合わせを考えると、{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} の6通り。

選んだ3つの座席にA, B, Cが座る方法は$3! = 6$通り。

したがって、最大が5となる座り方は、残りの2つの選び方により異なる。以下に場合分けする。

* {1, 2} の場合：座席 1, 2, 5 にA, B, C が座る。並び方は $3! = 6$通り。

* {1, 3} の場合：座席 1, 3, 5 にA, B, C が座る。並び方は $3! = 6$通り。

* {1, 4} の場合：座席 1, 4, 5 にA, B, C が座る。並び方は $3! = 6$通り。

* {2, 3} の場合：座席 2, 3, 5 にA, B, C が座る。並び方は $3! = 6$通り。

* {2, 4} の場合：座席 2, 4, 5 にA, B, C が座る。並び方は $3! = 6$通り。

* {3, 4} の場合：座席 3, 4, 5 にA, B, C が座る。並び方は $3! = 6$通り。

最大が5になる座り方は $6 \times 6 = 36$通り。

以上より、最大番号が奇数である座り方は、$6 + 36 = 42$通り。

どの列にも子供が1人ずつ座る

これは、各列に必ず子供が1人ずつ座るように大人と子供を割り当てる場合の数です。

まず、子供がどの列に座るかを選びます。列の選び方は自明に一意に決まります。

次に、各列において子供が座る座席を決めます。各列には座席が2つありますが、子供が座る座席は1つしかありません。

* 1列目：子供は座席1または4に座る。

* 2列目：子供は座席2または5に座る。

* 3列目：子供は座席3または6に座る。

各列で子供の座席の選択肢は2つずつあるので、$2 \times 2 \times 2 = 8$通りの選択肢があります。

子供たちの座り方を決めた後、大人たちは残りの座席に座ります。大人の座席の場所は一意に決定します。

子供の並び方が$3!$通り、大人の並び方も$3!$通りなので、$3! \times 3!$のパターンが考えられます。

子供たちの座り方を決めた後、大人たちは残りの座席に座ります。3列の座席番号の組み合わせは(1,2,3), (1,2,6), (1,5,3), (1,5,6), (4,2,3), (4,2,6), (4,5,3), (4,5,6)の8通り。各々の組み合わせについて、A,B,Cの並び方が$3!=6$通り、d,e,fの並び方が$3!=6$通りだから、全部で$8 \times 6 \times 6 = 288$通り。

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 大人が奇数、子供が偶数は36通り。Aとd, Bとe, Cとfが同じ列は48通り。

(3) 大人が座る座席の最大番号が奇数は42通り。どの列にも子供が1人ずつ座る座り方は288通り。