9人の生徒がおり、美術部、書道部、合唱部それぞれ3人ずつ所属している。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。 (1) 美術部の部員だけで3人のグループを作り、残りの6人から2人を選ぶ選び方は何通りあるか。 (2) グループの分け方は全部で何通りあるか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は何通りあるか。 (3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は何通りあるか。

1. 問題の内容

9人の生徒がおり、美術部、書道部、合唱部それぞれ3人ずつ所属している。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。

(1) 美術部の部員だけで3人のグループを作り、残りの6人から2人を選ぶ選び方は何通りあるか。

(2) グループの分け方は全部で何通りあるか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は何通りあるか。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、美術部の3人全員で3人のグループを作る方法は1通り。

残りの6人から2人を選ぶ方法は ${}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

よって、全部で $1 \times 15 = 15$ 通り。

(2)

9人を2人、3人、4人のグループに分ける方法は、

$\frac{9!}{2!3!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 6} = 9 \times 4 \times 7 \times 5 = 1260$ 通り。

各グループに美術部の部員が1人ずつ入る場合、

まず美術部員3人をそれぞれ2人、3人、4人のグループに割り当てる。これは3! = 6通り。

残りの6人は、書道部3人、合唱部3人。

2人のグループには美術部員が1人いるので、残り1人を選ぶ必要がある。これは6人から1人を選ぶので6通り。

3人のグループには美術部員が1人いるので、残り2人を選ぶ必要がある。これは5人から2人を選ぶので ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り。

4人のグループには美術部員が1人いるので、残り3人を選ぶ必要がある。これは3人から3人を選ぶので ${}_3C_3 = 1$ 通り。

よって、この場合の数は $6 \times 6 \times 10 \times 1 = 360$ 通り。

(3)

2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合を考える。

まず、どの部にするか3通り。

その部から2人を選ぶ ${}_3C_2 = 3$ 通り。

残りの6人から3人、4人のグループを作る。これは ${}_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

よって、 $3 \times 3 \times 20 = 180$ 通り。

どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方を考える。

(2)より全部で1260通り。

(3)より2人のグループに一つの部の部員だけが入るような分け方は180通り。

(2)より各グループに美術部の部員が1人ずつ入る分け方は360通り。

2人、3人、4人のグループにそれぞれ一つの部の部員しか入らない分け方は考えにくいので、余事象で考えるのが難しい。

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 1260通り、360通り

(3) 180通り