美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。 (1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残りの6人の生徒から2人を選ぶ選び方は全部で何通りあるか。 (2) グループの分け方は全部で何通りあるか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は全部で何通りあるか。 (3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。

(1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残りの6人の生徒から2人を選ぶ選び方は全部で何通りあるか。

(2) グループの分け方は全部で何通りあるか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は全部で何通りあるか。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 美術部の3人だけで3人のグループを作るのは1通り。残りの6人から2人を選ぶのは ${}_6 C_2$ 通り。

${}_6 C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

残りの4人から3人のグループを作るのは ${}_4 C_3$ 通り。

${}_4 C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ 通り。

最後の1人は4人のグループに入る。

したがって、全部で $1 \times 15 \times 4 = 60$ 通り。ただし、3人のグループと4人のグループの区別はないため、この場合分けはしない。残りの生徒から2人を選ぶのは ${}_6 C_2=15$ 通り。

(2) 9人を2人、3人、4人のグループに分ける方法の総数は、

$\frac{9!}{2!3!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 6} = 9 \times 4 \times 7 \times 5 = 1260$ 通り。

各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方の場合、まず美術部員を各グループに1人ずつ入れる。

2人のグループに美術部員1人を入れる方法は ${}_3 C_1 = 3$ 通り。

3人のグループに美術部員1人を入れる方法は ${}_2 C_1 = 2$ 通り。

4人のグループに美術部員1人を入れる方法は ${}_1 C_1 = 1$ 通り。

よって、3人の美術部員の入れ方は $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

次に、残りの6人を2人、3人、4人のグループに割り振る。

しかし、各グループにすでに美術部員が1人ずついるので、残りの6人から1人を2人のグループに、2人を3人のグループに、3人を4人のグループに割り振る。

$\frac{6!}{1!2!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{2} = 60$ 通り。

したがって、$6 \times 60 = 360$ 通り。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方。

2人のグループに美術部員だけが入る場合は、残りの6人を3人、4人に分けるので、${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

同様に、2人のグループに書道部員だけが入る場合、合唱部員だけが入る場合も20通りずつ。

よって、$20 \times 3 = 60$ 通り。

どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方。

これは全体から上記の場合を除けばよい。

1260-360 = 900 通り。

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 1260通り、360通り

(3) 60通り、900通り