自然数 $n$ に対して、$N = \sqrt{120n}$ が200以下の整数となるような $N$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$N = \sqrt{120n}$ が200以下の整数となるような $N$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、$120$ を素因数分解します。

$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

したがって、$N = \sqrt{120n} = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot n}$ となります。

$N$ が整数となるためには、$n$ は $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot k^2$ の形である必要があります。ただし、$k$ は自然数です。

よって、$n = 30k^2$ と書けます。

$N = \sqrt{120n} = \sqrt{120 \cdot 30k^2} = \sqrt{3600k^2} = 60k$ となります。

$N$ は200以下の整数なので、$60k \leq 200$ が成り立ちます。

$k \leq \frac{200}{60} = \frac{10}{3} = 3.333\dots$

$k$ は自然数なので、$k = 1, 2, 3$ です。

それぞれの $k$ に対して $N$ を計算します。

- $k = 1$ のとき、$N = 60 \cdot 1 = 60$

- $k = 2$ のとき、$N = 60 \cdot 2 = 120$

- $k = 3$ のとき、$N = 60 \cdot 3 = 180$

3. 最終的な答え

$N = 60, 120, 180$