5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる4個の数字を選び、それらを並べて4桁の整数を作る。以下の問いに答えよ。 (1) 作れる4桁の整数は何個か。 (2) 作れる4桁の奇数は何個か。 (3) 作れる4桁の偶数は何個か。

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる4個の数字を選び、それらを並べて4桁の整数を作る。以下の問いに答えよ。

(1) 作れる4桁の整数は何個か。

(2) 作れる4桁の奇数は何個か。

(3) 作れる4桁の偶数は何個か。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数の個数

まず、千の位には0以外の数字が入るので、千の位の選び方は4通り。

次に、百の位は千の位で使った数字以外の4通りの数字から選ぶ。

十の位は千の位と百の位で使った数字以外の3通りの数字から選ぶ。

一の位は千の位、百の位、十の位で使った数字以外の2通りの数字から選ぶ。

よって、作れる4桁の整数は

$4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$個。

(2) 4桁の奇数の個数

一の位が奇数である必要がある。一の位は1か3なので、2通り。

千の位は0と一の位の数字以外の3通り。

百の位は千の位と一の位で使った数字以外の3通り。

十の位は千の位、百の位、一の位で使った数字以外の2通り。

よって、奇数の個数は$2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$個。

または、

i) 一の位が1または3の場合 (2通り)

千の位は0でないので、

a) 千の位が2または4の場合 (2通り)

百の位は0を含めて残りの3通り

十の位は残りの2通り

$2 \times 2 \times 3 \times 2 = 24$

b) 千の位が0でない1,3以外の数字の場合 (1通り)

百の位は0を含めて残りの3通り

十の位は残りの2通り

$2 \times 1 \times 3 \times 2 = 12$

よって、$24+12=36$通り

ii) 一の位が1または3の場合 (2通り)

千の位は0でないので、

千の位が残りの3個から選ぶ。$3 \times 3 \times 2 = 18$

千の位は0以外なので，$3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$

一の位が1または3の場合、2通り。

残りの3つの位は、残り4つの数字から選ぶ順列なので、4P3 = $4 \times 3 \times 2 = 24$

千の位が0でないので、全体の数から千の位が0のものを引く。

千の位が0の時、残りの3つの位は、残り4つの数字から選ぶ順列なので、4P3 = $4 \times 3 \times 2 = 24$

$2 \times (4 \times 3 \times 2 - 3 \times 2) = 2 \times 24 = 48$

一の位が奇数(1,3) の場合：2通り

千の位は0が入らないので、以下の二つの場合に分ける

(a) 一の位と千の位がともに奇数の場合：1x1 = 1通り。

残りは0,2,4から2つを選んで並べるので $3 \times 2= 6$通り

(b) 千の位が2,4の場合：2通り。残りは0と残った奇数と2,4のうち一つを選んで並べるので $3 \times 2 =6$通り

よって、$2 \times (6 + 2 \times 3) = 2 \times 12= 24$

奇数の個数 $2 \times 4 \times 3 \times 2 = 36$

(3) 4桁の偶数の個数

(1)で作れる4桁の整数の総数から、(2)で作れる4桁の奇数の個数を引けばよい。

$96 - 36 = 60$個。

または、直接計算する。

i) 一の位が0の場合：千の位は4通り、百の位は3通り、十の位は2通りなので、$4 \times 3 \times 2 = 24$個

ii) 一の位が2または4の場合：2通り

千の位は0ではないので

a) 千の位に0が入らない場合：千の位は3通り、百の位は3通り、十の位は2通りなので、$2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$個

b) 千の位に0が入る場合、0を千の位に使えない

$2 \times ( 3 \times 3 \times 2 )=36$個。

i) 一の位が0の場合：

　　千の位：0を除く4通り

　　百の位：残りの3通り

　　十の位：残りの2通り

　　$4 \times 3 \times 2 = 24$

ii) 一の位が2,4の場合：2通り

　　a) 千の位が1,3の場合：2通り

　　　　百の位：0を含む3通り

　　　　十の位：残りの2通り

　　　　$2 \times 2 \times 3 \times 2 = 24$

　　b) 千の位が残りの偶数の場合：1通り

　　　　百の位：0を含む3通り

　　　　十の位：残りの2通り

　　　　$2 \times 1 \times 3 \times 2 = 12$

$24 + 24 + 12 = 60$

3. 最終的な答え

(1) 96個

(2) 36個

(3) 60個