放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したものが、2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したものが、2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動後の放物線の方程式を $y = -2(x - p)^2 + 3(x - p) + 1 + q$ とおく。

これは、$y = -2x^2 + 3x + 1$ の $x$ を $x-p$ に、$y$ を $y-q$ に置き換えたものである。

よって、$y-q = -2(x-p)^2 + 3(x-p) + 1$ となり、$y = -2(x-p)^2 + 3(x-p) + 1 + q$ となる。

この放物線が点 $(-2, 0)$ を通るので、

$0 = -2(-2 - p)^2 + 3(-2 - p) + 1 + q$

$0 = -2(4 + 4p + p^2) - 6 - 3p + 1 + q$

$0 = -8 - 8p - 2p^2 - 6 - 3p + 1 + q$

$0 = -2p^2 - 11p - 13 + q$

$q = 2p^2 + 11p + 13$ ...(1)

また、この放物線が点 $(1, 12)$ を通るので、

$12 = -2(1 - p)^2 + 3(1 - p) + 1 + q$

$12 = -2(1 - 2p + p^2) + 3 - 3p + 1 + q$

$12 = -2 + 4p - 2p^2 + 3 - 3p + 1 + q$

$12 = -2p^2 + p + 2 + q$

$q = 2p^2 - p + 10$ ...(2)

(1)と(2)より、

$2p^2 + 11p + 13 = 2p^2 - p + 10$

$12p = -3$

$p = -\frac{1}{4}$

これを(2)に代入して、

$q = 2(-\frac{1}{4})^2 - (-\frac{1}{4}) + 10$

$q = 2(\frac{1}{16}) + \frac{1}{4} + 10$

$q = \frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{80}{8}$

$q = \frac{83}{8}$

よって、求める放物線の方程式は、

$y = -2(x + \frac{1}{4})^2 + 3(x + \frac{1}{4}) + 1 + \frac{83}{8}$

$y = -2(x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}) + 3x + \frac{3}{4} + 1 + \frac{83}{8}$

$y = -2x^2 - x - \frac{1}{8} + 3x + \frac{6}{8} + \frac{8}{8} + \frac{83}{8}$

$y = -2x^2 + 2x + \frac{96}{8}$

$y = -2x^2 + 2x + 12$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 2x + 12$