次の不等式を解く問題です。 $|3x-1| - |2x+1| < 2$

1. 問題の内容

次の不等式を解く問題です。

$|3x-1| - |2x+1| < 2$

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x < -\frac{1}{2}$ のとき

$3x - 1 < 0$ かつ $2x + 1 < 0$ なので、

$|3x - 1| = -(3x - 1) = -3x + 1$

$|2x + 1| = -(2x + 1) = -2x - 1$

したがって、不等式は

$(-3x + 1) - (-2x - 1) < 2$

$-3x + 1 + 2x + 1 < 2$

$-x + 2 < 2$

$-x < 0$

$x > 0$

これは、$x < -\frac{1}{2}$ を満たさないので、解なし。

(ii) $-\frac{1}{2} \le x < \frac{1}{3}$ のとき

$3x - 1 < 0$ かつ $2x + 1 \ge 0$ なので、

$|3x - 1| = -(3x - 1) = -3x + 1$

$|2x + 1| = 2x + 1$

したがって、不等式は

$(-3x + 1) - (2x + 1) < 2$

$-3x + 1 - 2x - 1 < 2$

$-5x < 2$

$x > -\frac{2}{5}$

$-\frac{1}{2} \le x < \frac{1}{3}$ と $x > -\frac{2}{5}$ の共通範囲は、

$-\frac{2}{5} < x < \frac{1}{3}$

(iii) $x \ge \frac{1}{3}$ のとき

$3x - 1 \ge 0$ かつ $2x + 1 > 0$ なので、

$|3x - 1| = 3x - 1$

$|2x + 1| = 2x + 1$

したがって、不等式は

$(3x - 1) - (2x + 1) < 2$

$3x - 1 - 2x - 1 < 2$

$x - 2 < 2$

$x < 4$

$x \ge \frac{1}{3}$ と $x < 4$ の共通範囲は、

$\frac{1}{3} \le x < 4$

(i), (ii), (iii) より、解は

$-\frac{2}{5} < x < 4$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{5} < x < 4$