与えられた式 $\sqrt{x^2-2x+1} - \sqrt{x^2+4x+4}$ を、指定された $x$ の範囲で簡略化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{x^2-2x+1} - \sqrt{x^2+4x+4}$ を、指定された $x$ の範囲で簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、平方根の中身を因数分解します。

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

したがって、与えられた式は以下のように書き換えられます。

$\sqrt{(x-1)^2} - \sqrt{(x+2)^2}$

ここで、$\sqrt{a^2} = |a|$ であることを利用すると、

$|x-1| - |x+2|$

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x \le -2$ のとき

$x-1 < 0$ かつ $x+2 \le 0$ なので、

$|x-1| = -(x-1) = 1-x$

$|x+2| = -(x+2) = -x-2$

よって、$|x-1| - |x+2| = (1-x) - (-x-2) = 1-x+x+2 = 3$

(ii) $-2 < x < 1$ のとき

$x-1 < 0$ かつ $x+2 > 0$ なので、

$|x-1| = -(x-1) = 1-x$

$|x+2| = x+2$

よって、$|x-1| - |x+2| = (1-x) - (x+2) = 1-x-x-2 = -2x-1$

(iii) $x \ge 1$ のとき

$x-1 \ge 0$ かつ $x+2 > 0$ なので、

$|x-1| = x-1$

$|x+2| = x+2$

よって、$|x-1| - |x+2| = (x-1) - (x+2) = x-1-x-2 = -3$

3. 最終的な答え

$x \le -2$ のとき、3

$-2 < x < 1$ のとき、$-2x-1$

$x \ge 1$ のとき、-3