与えられた2つの定積分の値を求めます。 (1) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{\frac{x}{2}} - 6\sin{3x}) dx$ (2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\csc{x} + \tan{x}) \cos{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分の値を求めます。

(1) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{\frac{x}{2}} - 6\sin{3x}) dx$

(2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\csc{x} + \tan{x}) \cos{x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{\frac{x}{2}} - 6\sin{3x}) dx$ を計算します。

まず、積分を分けます。

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\frac{x}{2}} dx - 6\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin{3x} dx$

$\cos{\frac{x}{2}}$ の積分は $2\sin{\frac{x}{2}}$ であり、$\sin{3x}$ の積分は $-\frac{1}{3}\cos{3x}$ です。

したがって、

$[2\sin{\frac{x}{2}}]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} - 6[-\frac{1}{3}\cos{3x}]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= [2\sin{\frac{\pi}{4}} - 2\sin{\frac{\pi}{6}}] + 2[\cos{\frac{3\pi}{2}} - \cos{\pi}]$

$= [2(\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2(\frac{1}{2})] + 2[0 - (-1)]$

$= \sqrt{2} - 1 + 2$

$= \sqrt{2} + 1$

(2)

定積分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\csc{x} + \tan{x}) \cos{x} dx$ を計算します。

$\csc{x} = \frac{1}{\sin{x}}$ かつ $\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ を用いて式を整理します。

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\frac{1}{\sin{x}} + \frac{\sin{x}}{\cos{x}}) \cos{x} dx$

$= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\frac{\cos{x}}{\sin{x}} + \sin{x}) dx$

$= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cot{x} + \sin{x}) dx$

$\cot{x}$ の積分は $\ln|\sin{x}|$ であり、$\sin{x}$ の積分は $-\cos{x}$ です。

したがって、

$[\ln|\sin{x}| - \cos{x}]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$

$= (\ln|\sin{\frac{\pi}{3}}| - \cos{\frac{\pi}{3}}) - (\ln|\sin{\frac{\pi}{6}}| - \cos{\frac{\pi}{6}})$

$= (\ln{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{1}{2}) - (\ln{\frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2})$

$= \ln{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \ln{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \ln{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1}} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \ln{\sqrt{3}} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{1}{2}\ln{3} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{\ln{3} - 1 + \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2} + 1$

(2) $\frac{\ln{3} - 1 + \sqrt{3}}{2}$