6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を1個ずつ使って3桁の整数を作る。 (1) 3桁の整数は何個作れるか。 (2) 奇数は何個作れるか。 (3) 5の倍数は何個作れるか。 (4) 340以上の整数は何個作れるか。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を1個ずつ使って3桁の整数を作る。

(1) 3桁の整数は何個作れるか。

(2) 奇数は何個作れるか。

(3) 5の倍数は何個作れるか。

(4) 340以上の整数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数：

百の位は0以外の5通り。

十の位は百の位で使った数以外の5通り。

一の位は百の位、十の位で使った数以外の4通り。

よって、3桁の整数は $5 \times 5 \times 4 = 100$ 個作れる。

(2) 奇数：

一の位が奇数である必要がある。一の位は1, 3, 5の3通り。

百の位は0以外の数字なので、以下の2つのパターンに分けて考える。

* 一の位が奇数のとき、百の位も奇数の場合：

一の位は3通り。百の位は残りの奇数2通り。十の位は残りの4通り。

$3 \times 2 \times 4 = 24$ 通り。

* 一の位が奇数のとき、百の位が偶数（0以外）の場合：

一の位は3通り。百の位は2, 4の2通り。十の位は残りの4通り。

$3 \times 2 \times 4 = 24$ 通り。

よって、奇数は $24 + 24 = 48$ 個作れる。

(3) 5の倍数：

一の位が0か5であれば良い。

* 一の位が0の場合：

百の位は0以外の5通り。十の位は残りの4通り。

$5 \times 4 = 20$ 通り。

* 一の位が5の場合：

百の位は0以外の4通り（5も使えない）。十の位は残りの4通り。

$4 \times 4 = 16$ 通り。

よって、5の倍数は $20 + 16 = 36$ 個作れる。

(4) 340以上の整数：

百の位が3, 4, 5の場合に分けて考える。

* 百の位が3の場合：

十の位が4か5であれば340以上となる。

* 十の位が4の場合：一の位は0, 1, 2, 5の4通り。

* 十の位が5の場合：一の位は0, 1, 2, 4の4通り。

よって、$4 + 4 = 8$ 通り。

* 百の位が4の場合：

十の位は0, 1, 2, 3, 5の5通り。一の位は残りの4通り。

$5 \times 4 = 20$ 通り。

* 百の位が5の場合：

十の位は0, 1, 2, 3, 4の5通り。一の位は残りの4通り。

$5 \times 4 = 20$ 通り。

よって、340以上の整数は $8 + 20 + 20 = 48$ 個作れる。

3. 最終的な答え

(1) 100個

(2) 48個

(3) 36個

(4) 48個