三角形ABCの内部に点Pがあり、$3\overrightarrow{PA} + x\overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$が成り立っている。三角形ABCと三角形PBCの面積比が4:1となるような正の整数xの値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部に点Pがあり、$3\overrightarrow{PA} + x\overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$が成り立っている。三角形ABCと三角形PBCの面積比が4:1となるような正の整数xの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられたベクトルに関する式を変形する。始点をAに揃えるために、$\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{AA} - \overrightarrow{AP} = - \overrightarrow{AP}$などを用いて式を変形する。

$3\overrightarrow{PA} + x\overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$

$-3\overrightarrow{AP} + x(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}) + 2(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP}) = \overrightarrow{0}$

$-3\overrightarrow{AP} + x\overrightarrow{AB} - x\overrightarrow{AP} + 2\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{0}$

$(3 + x + 2)\overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$

$(x + 5)\overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{x}{x+5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{x+5}\overrightarrow{AC}$

ここで、点Qを$\overrightarrow{AQ} = \frac{x}{x+2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{x+2}\overrightarrow{AC}$を満たす点とすると、点Qは辺BC上にある。なぜなら、$\frac{x}{x+2} + \frac{2}{x+2} = 1$だからである。

$\overrightarrow{AP} = \frac{x+2}{x+5} \left( \frac{x}{x+2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{x+2}\overrightarrow{AC} \right)$

$\overrightarrow{AP} = \frac{x+2}{x+5}\overrightarrow{AQ}$

これは、点Pが線分AQ上にあることを示している。また、$\frac{AP}{AQ} = \frac{x+2}{x+5}$である。

三角形ABCと三角形PBCの面積比が4:1であることから、

$\frac{\triangle PBC}{\triangle ABC} = \frac{1}{4}$

$\triangle PBC = \frac{1}{4}\triangle ABC$

ここで、$\triangle PBC = \frac{AP}{AQ}\triangle QBC$であり、$\triangle QBC = \frac{AP}{AQ}\triangle ABC$.

したがって、$\triangle QBC = \frac{3}{x+5} \triangle ABC$.

$\triangle PBC = \frac{AP}{AQ}\triangle ABC \cdot \frac{BC}{BC} = \frac{AP}{AQ} \times \frac{AQ}{AA} = \left(1-\frac{AP}{AQ}\right) \triangle ABC = \frac{3}{x+5} \triangle ABC$

$\frac{\triangle PBC}{\triangle ABC} = \frac{3}{x+5} = \frac{1}{4}$

$x+5 = 12$

$x = 7$

3. 最終的な答え

7