二等辺三角形ABCにおいて、$A=B=30^\circ$、辺$c=3\sqrt{3}$のときの面積$S$を求める。

1. 問題の内容

二等辺三角形ABCにおいて、$A=B=30^\circ$、辺$c=3\sqrt{3}$のときの面積$S$を求める。

2. 解き方の手順

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$である。

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$a = b$なので、$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin 120^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$、$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$2a = \frac{3\sqrt{3} \times 2}{\sqrt{3}}$

$2a = 6$

$a = 3$

したがって、$a = b = 3$である。

三角形の面積の公式より、$S = \frac{1}{2}ab\sin C$なので、

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin 120^\circ$

$S = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{9\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\sqrt{3}}{4}$