直線 $y = 4x + 9$ と直交するベクトル（法線ベクトル）が $\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix}$ で与えられるとき、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = 4x + 9$ と直交するベクトル（法線ベクトル）が $\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix}$ で与えられるとき、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

直線の式 $y = 4x + 9$ を変形して、$4x - y + 9 = 0$ とします。

この直線の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ で表されます。

問題で与えられた法線ベクトル $\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ は平行なので、ある実数 $k$ を用いて

$\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

と表すことができます。

第2成分を比較すると、

$1 = -k$

となるので、$k = -1$ です。

よって、

$\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、$a = -4$ となります。

3. 最終的な答え

-4