中心角 $60^\circ$, 半径1の扇形が直線上を滑らずに1回転するとき、扇形が通過した部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

中心角 $60^\circ$, 半径1の扇形が直線上を滑らずに1回転するとき、扇形が通過した部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

扇形が直線上を回転するとき、扇形が通過する部分は以下の3つの部分に分けられます。

(1) 扇形の弧が通る部分：これは長方形になります。

(2) 扇形の中心が通る部分：これは扇形になります。

(3) 扇形が回転する端の部分：これは扇形になります。

(1) 長方形の面積を計算します。

長方形の縦の長さは扇形の半径と等しく、1です。

長方形の横の長さは扇形の弧の長さと等しく、扇形の半径 $r$ と中心角 $\theta$ を用いて、$r\theta$ で計算できます。

今回は $r=1$ であり、$\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ ラジアンなので、弧の長さは $\frac{\pi}{3}$ です。

したがって、長方形の面積は $1 \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ です。

(2) 扇形の面積を計算します。

扇形の半径は扇形の半径と等しく、1です。

扇形の中心角は $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ ラジアンです。

したがって、扇形の面積は $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 1^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ です。

(3) 扇形の面積を計算します。

扇形の半径は扇形の半径と等しく、1です。

扇形の中心角は $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ ラジアンです。

したがって、扇形の面積は $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 1^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、扇形が通過した部分の面積は、これらの3つの面積の合計です。

$$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3}$