与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の関数を微分する必要があります。 (1) $y = (x^2 + x - 2)^6$ (2) $y = (4 - x^2)^3$ (3) $y = e^{x^2}$ (4) $y = e^{\sin x}$ (5) $y = \log(x^2 + 1)$ (6) $y = \log |\sin x|$ (7) $y = \sqrt[3]{x^2 + 1}$ (8) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の関数を微分する必要があります。

(1) $y = (x^2 + x - 2)^6$

(2) $y = (4 - x^2)^3$

(3) $y = e^{x^2}$

(4) $y = e^{\sin x}$

(5) $y = \log(x^2 + 1)$

(6) $y = \log |\sin x|$

(7) $y = \sqrt[3]{x^2 + 1}$

(8) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^2 + x - 2)^6$

合成関数の微分公式を利用します。$u = x^2 + x - 2$ とおくと、$y = u^6$ です。

$\frac{dy}{du} = 6u^5$

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 6(x^2 + x - 2)^5(2x + 1)$

(2) $y = (4 - x^2)^3$

同様に、合成関数の微分公式を利用します。$u = 4 - x^2$ とおくと、$y = u^3$ です。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3(4 - x^2)^2(-2x) = -6x(4 - x^2)^2$

(3) $y = e^{x^2}$

$u = x^2$ とおくと、$y = e^u$ です。

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

(4) $y = e^{\sin x}$

$u = \sin x$ とおくと、$y = e^u$ です。

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^{\sin x} \cdot \cos x = \cos x e^{\sin x}$

(5) $y = \log(x^2 + 1)$

$u = x^2 + 1$ とおくと、$y = \log u$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(6) $y = \log |\sin x|$

$u = \sin x$ とおくと、$y = \log |u|$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

(7) $y = \sqrt[3]{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}$

$u = x^2 + 1$ とおくと、$y = u^{\frac{1}{3}}$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3(x^2+1)^{\frac{2}{3}}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{3(x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} \cdot 2x = \frac{2x}{3(x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}$

(8) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = (x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}$

$u = x^2 + 1$ とおくと、$y = u^{-\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{2(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}} \cdot 2x = -\frac{x}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 6(x^2 + x - 2)^5(2x + 1)$

(2) $\frac{dy}{dx} = -6x(4 - x^2)^2$

(3) $\frac{dy}{dx} = 2xe^{x^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \cos x e^{\sin x}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \cot x$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3(x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}$

(8) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}$