与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。 (1) $\frac{x+9}{x^2+4x+3} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+3}$ (2) $\frac{3x^2-4x+2}{x(x-1)^2} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{(x-1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

(1) $\frac{x+9}{x^2+4x+3} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+3}$

(2) $\frac{3x^2-4x+2}{x(x-1)^2} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{(x-1)^2}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、左辺の分母を因数分解します。

$x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$

したがって、

$\frac{x+9}{(x+1)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+3}$

両辺に $(x+1)(x+3)$ を掛けます。

$x+9 = a(x+3) + b(x+1)$

$x+9 = (a+b)x + (3a+b)$

この等式が恒等式となるためには、各項の係数が等しくなければなりません。

$a+b = 1$

$3a+b = 9$

この連立方程式を解きます。下の式から上の式を引くと、

$2a = 8$ より $a=4$

$a+b = 1$ に $a=4$ を代入すると $4+b=1$ より $b=-3$

よって、$a=4, b=-3$

(2)

両辺に $x(x-1)^2$ を掛けます。

$3x^2 - 4x + 2 = a(x-1)^2 + b(x)(x-1) + c(x)$

$3x^2 - 4x + 2 = a(x^2 - 2x + 1) + b(x^2 - x) + cx$

$3x^2 - 4x + 2 = (a+b)x^2 + (-2a-b+c)x + a$

この等式が恒等式となるためには、各項の係数が等しくなければなりません。

$a+b = 3$

$-2a-b+c = -4$

$a = 2$

$a=2$ を $a+b=3$ に代入すると $2+b=3$ より $b=1$

$a=2$ と $b=1$ を $-2a-b+c = -4$ に代入すると $-2(2)-1+c = -4$ より $-4-1+c=-4$ より $c=1$

よって、$a=2, b=1, c=1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4, b = -3$

(2) $a = 2, b = 1, c = 1$