不等式 $16^x - 3 \cdot 4^{x+1} + 32 < 0$ を解き、$x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $16^x - 3 \cdot 4^{x+1} + 32 < 0$ を解き、$x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式を変形する。

$16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$

$4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 = 4 \cdot 4^x$

これらを不等式に代入すると、

$(4^x)^2 - 3 \cdot 4 \cdot 4^x + 32 < 0$

$(4^x)^2 - 12 \cdot 4^x + 32 < 0$

ここで、$t = 4^x$ とおくと、$t > 0$ であり、不等式は

$t^2 - 12t + 32 < 0$

$(t - 4)(t - 8) < 0$

したがって、$4 < t < 8$

$t = 4^x$ を代入すると、

$4 < 4^x < 8$

$4^1 < 4^x < 4^{\frac{3}{2}}$

底が 4 > 1 なので、$x$ の大小関係は変わらない。

$1 < x < \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$1 < x < \frac{3}{2}$