与えられた4x4行列の行列式を因数分解する問題です。行列は次のとおりです。 $\begin{vmatrix} -a & a & a & b \\ a & -a & b & a \\ a & b & -a & a \\ b & a & a & -a \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を因数分解する問題です。行列は次のとおりです。

$\begin{vmatrix} -a & a & a & b \\ a & -a & b & a \\ a & b & -a & a \\ b & a & a & -a \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行または列に対する操作を行い、計算を簡略化します。

まず、1行目、2行目、3行目をすべて4行目に加えます。

$\begin{vmatrix} -a & a & a & b \\ a & -a & b & a \\ a & b & -a & a \\ a+b & a+b & a+b & a+b \end{vmatrix}$

これにより4行目から因子$(a+b)$をくくりだせます。

$(a+b) \begin{vmatrix} -a & a & a & b \\ a & -a & b & a \\ a & b & -a & a \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

次に、第1列に第2列、第3列、第4列を加えます。

$(a+b) \begin{vmatrix} 2a+b & a & a & b \\ a+b & -a & b & a \\ a+b & b & -a & a \\ 4 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

次に、第2列から第4列を引き、第3列から第4列を引きます。

$(a+b) \begin{vmatrix} 2a+b & a-b & a-b & b \\ a+b & -a-a & b-a & a \\ a+b & b-a & -a-a & a \\ 4 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$(a+b) \begin{vmatrix} 2a+b & a-b & a-b & b \\ a+b & -2a & b-a & a \\ a+b & b-a & -2a & a \\ 4 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$(a+b) \begin{vmatrix} 2a+b & a-b & 0 & b-a \\ a+b & -2a & b+2a & a \\ a+b & b-a & -b-2a & a \\ 4 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$(a+b) \begin{vmatrix} 2a+b & a-b & 0 & b-a \\ a+b & -2a & 3a+b & a \\ a+b & b-a & -3a-b & a \\ 4 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

次に、第1列、第2列に対して、4行目に対する余因子展開を考えます。

$(a+b) \begin{vmatrix} a-b & 0 & b-a \\ -2a & 3a+b & a \\ b-a & -3a-b & a \end{vmatrix}$

次に、この3x3行列を計算します。

$(a+b)(a-b) \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2a & 3a+b & a \\ b-a & -3a-b & a \end{vmatrix}$

$(a+b)(a-b) \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2a & 3a+b & a \\ b-a & -3a-b & a \end{vmatrix}$

列１に列3を加えると

$(a+b)(a-b) \begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -a & 3a+b & a \\ b & -3a-b & a \end{vmatrix}$

=$(a+b)(a-b)(-1)[(-a)(-3a-b)-b(3a+b)]$

=$(a+b)(a-b)[3a^2+ab-3ab-b^2]$

=$(a+b)(a-b)[3a^2-2ab-b^2]$

=$(a+b)(a-b)[(3a+b)(a-b)]$

=$(a+b)(a-b)^2(3a+b)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(a-b)^2(3a+b)$