関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1$ (ただし $x \ge 1$) の最小値を $g(a)$ とします。 (i) $g(a)$ を $a$ で表しなさい。 (ii) $g(a)$ の最大値を求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1$ (ただし $x \ge 1$) の最小値を $g(a)$ とします。

(i) $g(a)$ を $a$ で表しなさい。

(ii) $g(a)$ の最大値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(i) まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + 2a + 1$

軸は $x = a$ となります。

定義域が $x \ge 1$ なので、$a$ の値によって場合分けします。

(a) $a < 1$ のとき、最小値は $x = 1$ のときにとります。

$g(a) = f(1) = 1 - 2a + 2a + 1 = 2$

(b) $a \ge 1$ のとき、最小値は $x = a$ のときにとります。

$g(a) = f(a) = -a^2 + 2a + 1$

したがって、

$g(a) = \begin{cases} 2 & (a < 1) \\ -a^2 + 2a + 1 & (a \ge 1) \end{cases}$

(ii) $g(a)$ の最大値を求めます。

(a) $a < 1$ のとき、$g(a) = 2$

(b) $a \ge 1$ のとき、$g(a) = -a^2 + 2a + 1 = -(a - 1)^2 + 2$

これは $a = 1$ で最大値 $2$ をとります。

$g(a)$ は $a < 1$ で $2$、$a = 1$ で $2$、$a > 1$ で $2$ より小さくなるので、最大値は $2$ です。

3. 最終的な答え

(i) $g(a) = \begin{cases} 2 & (a < 1) \\ -a^2 + 2a + 1 & (a \ge 1) \end{cases}$

(ii) $2$