関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1$ （$x \geq 1$）の最小値を $g(a)$ とする。 (i) $g(a)$ を $a$ で表せ。 (ii) $g(a)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1$ （$x \geq 1$）の最小値を $g(a)$ とする。

(i) $g(a)$ を $a$ で表せ。

(ii) $g(a)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $g(a)$ を $a$ で表す。

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x-a)^2 - a^2 + 2a + 1$

軸は $x=a$ である。

$x \geq 1$ における $f(x)$ の最小値 $g(a)$ を求める。

(a) $a < 1$ のとき、最小値は $f(1)$ である。

$g(a) = f(1) = 1^2 - 2a(1) + 2a + 1 = 1 - 2a + 2a + 1 = 2$

(b) $a \geq 1$ のとき、最小値は $f(a)$ である。

$g(a) = f(a) = a^2 - 2a^2 + 2a + 1 = -a^2 + 2a + 1$

よって、

$g(a) = \begin{cases} 2 & (a < 1) \\ -a^2 + 2a + 1 & (a \geq 1) \end{cases}$

(ii) $g(a)$ の最大値を求める。

(a) $a < 1$ のとき、$g(a) = 2$

(b) $a \geq 1$ のとき、$g(a) = -a^2 + 2a + 1 = -(a-1)^2 + 2$

$a \geq 1$ なので、$g(a)$ は $a=1$ で最大値 $2$ をとる。

$g(1) = -1^2 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$

$g(a)$ の最大値は $2$ である。

3. 最終的な答え

(i) $g(a) = \begin{cases} 2 & (a < 1) \\ -a^2 + 2a + 1 & (a \geq 1) \end{cases}$

(ii) $g(a)$ の最大値は $2$