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与えられた式 $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ の分母を有理化する問題です。

代数学分母の有理化根号式の計算
2025/4/1

1. 問題の内容

与えられた式 11+5+6\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}} の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を (1+5)+6(1+\sqrt{5})+\sqrt{6} と見て、
1(1+5)+6\frac{1}{(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}} に (1+5)−6(1+\sqrt{5})-\sqrt{6} を分母と分子にかけます。
1(1+5)+6⋅(1+5)−6(1+5)−6=(1+5)−6(1+5)2−(6)2\frac{1}{(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}} \cdot \frac{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}} = \frac{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2}
分子は 1+5−61 + \sqrt{5} - \sqrt{6} となります。
分母は (1+25+5)−6=6+25−6=25(1 + 2\sqrt{5} + 5) - 6 = 6 + 2\sqrt{5} - 6 = 2\sqrt{5} となります。
したがって、
1+5−625\frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{2\sqrt{5}}
さらに分母を有理化するため、5\sqrt{5} を分母と分子にかけます。
(1+5−6)525⋅5=5+5−3010\frac{(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + 5 - \sqrt{30}}{10}

3. 最終的な答え

5+5−3010\frac{5 + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{10}

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