与えられた式 $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}$ と見て、

$\frac{1}{(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}}$ に $(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{1}{(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}} \cdot \frac{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}} = \frac{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2}$

分子は $1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}$ となります。

分母は $(1 + 2\sqrt{5} + 5) - 6 = 6 + 2\sqrt{5} - 6 = 2\sqrt{5}$ となります。

したがって、

$\frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

さらに分母を有理化するため、$\sqrt{5}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + 5 - \sqrt{30}}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{5 + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{10}$