与えられた2変数多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$3x^2 + (13 - 14y)x + (15y^2 - 23y + 4)$

次に、定数項 $15y^2 - 23y + 4$ を因数分解します。

$15y^2 - 23y + 4 = (3y - 4)(5y - 1)$

元の式が因数分解できると仮定すると、

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になるはずです。

$x^2$の係数が3なので、$a=3$, $d=1$または$a=1$, $d=3$の可能性があります。

$y^2$の係数が15なので、$b$と$e$の組み合わせは$(3y, 5y)$, $(5y, 3y)$, $(y, 15y)$, $(15y, y)$などが考えられます。

定数項が4なので、$c$と$f$の組み合わせは$(1, 4)$, $(4, 1)$, $(2, 2)$, $(-1, -4)$, $(-4, -1)$, $(-2, -2)$などが考えられます。

これらの組み合わせを試してみます。

$(3x + 5y + A)(x + 3y + B)$を仮定します。

$3x^2 + 9xy + 3Bx + 5xy + 15y^2 + 5By + Ax + 3Ay + AB$

$= 3x^2 + 14xy + 15y^2 + (3B + A)x + (5B + 3A)y + AB$

$x$の係数が$13$なので、$3B + A = 13$。

$y$の係数が$-23$なので、$5B + 3A = -23$。

これらの連立方程式を解きます。

$3 \times (3B + A) = 3 \times 13 \Rightarrow 9B + 3A = 39$

$(9B + 3A) - (5B + 3A) = 39 - (-23)$

$4B = 62$

$B = \frac{62}{4} = \frac{31}{2}$

別のパターンを試します。

$(3x + 3y + A)(x + 5y + B)$

$3x^2 + 15xy + 3Bx + 3xy + 15y^2 + 3By + Ax + 5Ay + AB$

$= 3x^2 + 18xy + 15y^2 + (3B + A)x + (3B + 5A)y + AB$

$(3x + ay + b)(x + cy + d)$の形を考えます。

$3x^2 + (3c + a)xy + acy^2 + (3d + b)x + (ad + bc)y + bd$

$ac = 15$, $3c + a = -14$, $3d + b = 13$, $ad + bc = -23$, $bd = 4$

もし、$b = 1$, $d = 4$の場合、$3(4) + 1 = 13$となり成立。

$4a + c = -23$

$3c + a = -14$

$3 \times (4a + c) = -69$

$12a + 3c = -69$

$(12a + 3c) - (3c + a) = -69 - (-14)$

$11a = -55$

$a = -5$

$3c - 5 = -14$

$3c = -9$

$c = -3$

$ac = (-5)(-3) = 15$成立

したがって、$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$

3. 最終的な答え

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$