与えられた2変数多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$3x^2 + (-14y + 13)x + (15y^2 - 23y + 4)$

次に、定数項 $15y^2 - 23y + 4$ を因数分解します。

$15y^2 - 23y + 4 = (3y - 4)(5y - 1)$

与式が因数分解できると仮定すると、$(3x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形になるはずです。

$3x^2 + (A + 3C)xy + (3D + B)x + ACy^2 + (AD + BC)y + BD$

係数を比較すると

$A + 3C = -14$

$3D + B = 13$

$AC = 15$

$AD + BC = -23$

$BD = 4$

$15y^2 - 23y + 4 = (3y - 4)(5y - 1)$ という情報から、

$A = 3y - 4, C = 5y - 1$ はあり得ない。

$AC = 15$ であることから、A と C の組み合わせは、 (3, 5), (5, 3), (1, 15), (15, 1), (-3, -5), (-5, -3), (-1, -15), (-15, -1) などが考えられます。

$BD = 4$ であることから、B と D の組み合わせは、 (1, 4), (4, 1), (2, 2), (-1, -4), (-4, -1), (-2, -2) などが考えられます。

$3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4 = (3x + ay + b)(x + cy + d)$ の形で因数分解できると仮定します。

$3x^2 + (a+3c)xy + (3d + b)x + acy^2 + (ad+bc)y + bd$

$a+3c = -14$

$3d+b = 13$

$ac = 15$

$ad+bc = -23$

$bd = 4$

因数分解の候補として、$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$ を試してみます。

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4) = 3x^2 - 9xy + 12x - 5xy + 15y^2 - 20y + x - 3y + 4 = 3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$

これは与えられた式と一致します。

3. 最終的な答え

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$