7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる3個の整数を使って3桁の整数を作る。 (ア) 作れる整数の総数を求める。 (イ) そのうち4の倍数となる整数の数を求める。 (ウ) そのうち3の倍数となる整数の数を求める。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる3個の整数を使って3桁の整数を作る。

(ア) 作れる整数の総数を求める。

(イ) そのうち4の倍数となる整数の数を求める。

(ウ) そのうち3の倍数となる整数の数を求める。

2. 解き方の手順

(ア) 3桁の整数を作る。

百の位は0以外の6通り。

十の位は百の位に使った数字以外の6通り。

一の位は百の位と十の位に使った数字以外の5通り。

よって、3桁の整数は $6 \times 6 \times 5 = 180$ 通り。

(イ) 4の倍数となる3桁の整数を作る。

4の倍数となるためには、下2桁が4の倍数である必要がある。

下2桁の組み合わせは、04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 44, 52, 56, 60, 64の13通り。

ただし、同じ数字を2回使うことはできないので、44は除外される。

よって、下2桁の組み合わせは12通り。

* 下2桁が04, 20, 40, 60のとき、百の位は残りの5通り。よって、 $4 \times 5 = 20$ 通り。

* 下2桁が12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64のとき、百の位は残りの5通りから0を除いた4通り。よって、$8 \times 4 = 32$通り。

したがって、4の倍数は$20 + 32 = 52$通り。

(ウ) 3の倍数となる3桁の整数を作る。

3の倍数となるためには、各桁の数字の和が3の倍数である必要がある。

使う数字の組み合わせを考える。

0+1+2=3, 0+1+5=6, 0+2+4=6, 0+3+6=9, 0+4+5=9, 0+5+6=11

1+2+3=6, 1+2+6=9, 1+3+5=9, 1+5+6=12

2+3+4=9, 2+4+6=12, 2+5+6=13

3+4+5=12, 3+5+6=14

4+5+6=15

組み合わせは以下の通り。

{0, 1, 2}: 2 * 2 * 1 = 4

{0, 1, 5}: 2 * 2 * 1 = 4

{0, 2, 4}: 2 * 2 * 1 = 4

{0, 3, 6}: 2 * 2 * 1 = 4

{0, 4, 5}: 2 * 2 * 1 = 4

{1, 2, 3}: 3! = 6

{1, 2, 6}: 3! = 6

{1, 3, 5}: 3! = 6

{1, 5, 6}: 3! = 6

{2, 3, 4}: 3! = 6

{2, 4, 6}: 3! = 6

{3, 4, 5}: 3! = 6

{4, 5, 6}: 3! = 6

したがって、3の倍数は $4 \times 5 + 6 \times 8 = 20 + 48 = 68$ 通り。

3. 最終的な答え

ア: 180

イ: 52

ウ: 68