濃度が $x$% の食塩水 200g があります。これに、(A) 水を 110g 加える、または (B) 食塩を 7g 加える操作を行い、食塩水の濃度を 4% 以上 6% 以下にしたい。 (1) (A) の操作を 1 回行った後の食塩水に含まれる食塩の重さ (g) を $x$ を用いて表し、そのときの食塩水の濃度 (%) を $x$ を用いて表す。 (2) (A) または (B) のいずれかの操作を 1 回行うことで、食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下になるような $x$ の値の範囲を小数で求める。 (3) (A) または (B) のいずれの操作を 1 回行っても、食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下にならないとき、(A) または (B) のいずれかの操作をもう 1 回行うことで、食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下になるような $x$ の値の範囲を小数で求める。ただし、1 回目と 2 回目で異なる操作を行ってもよい。

1. 問題の内容

濃度が $x$% の食塩水 200g があります。これに、(A) 水を 110g 加える、または (B) 食塩を 7g 加える操作を行い、食塩水の濃度を 4% 以上 6% 以下にしたい。

(1) (A) の操作を 1 回行った後の食塩水に含まれる食塩の重さ (g) を $x$ を用いて表し、そのときの食塩水の濃度 (%) を $x$ を用いて表す。

(2) (A) または (B) のいずれかの操作を 1 回行うことで、食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下になるような $x$ の値の範囲を小数で求める。

(3) (A) または (B) のいずれの操作を 1 回行っても、食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下にならないとき、(A) または (B) のいずれかの操作をもう 1 回行うことで、食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下になるような $x$ の値の範囲を小数で求める。ただし、1 回目と 2 回目で異なる操作を行ってもよい。

2. 解き方の手順

(1)

元の食塩水 200g に含まれる食塩の重さは $\frac{x}{100} \times 200 = 2x$ (g) です。

(A) の操作で水を 110g 加えても食塩の重さは変わらないので、食塩の重さは $2x$ (g) のままです。

食塩水の重さは $200 + 110 = 310$ (g) になります。

したがって、食塩水の濃度は $\frac{2x}{310} \times 100 = \frac{200x}{310} = \frac{20x}{31}$ (%) となります。

(2)

(A) の操作を行った場合、濃度は $\frac{20x}{31}$ (%) です。これが 4% 以上 6% 以下となるので、

$4 \le \frac{20x}{31} \le 6$

$4 \times 31 \le 20x \le 6 \times 31$

$124 \le 20x \le 186$

$\frac{124}{20} \le x \le \frac{186}{20}$

$6.2 \le x \le 9.3$

(B) の操作を行った場合、食塩の重さは $2x + 7$ (g) となり、食塩水の重さは $200 + 7 = 207$ (g) となります。

濃度は $\frac{2x+7}{207} \times 100$ (%) です。これが 4% 以上 6% 以下となるので、

$4 \le \frac{100(2x+7)}{207} \le 6$

$4 \times 207 \le 100(2x+7) \le 6 \times 207$

$828 \le 200x + 700 \le 1242$

$128 \le 200x \le 542$

$\frac{128}{200} \le x \le \frac{542}{200}$

$0.64 \le x \le 2.71$

したがって、(A) の場合 $6.2 \le x \le 9.3$、(B) の場合 $0.64 \le x \le 2.71$ となります。

(3)

(A) を 1 回行うと $6.2 \le x \le 9.3$ でなければ 4% 以上 6% 以下になりません。

(B) を 1 回行うと $0.64 \le x \le 2.71$ でなければ 4% 以上 6% 以下になりません。

(A) の後 (B) を行う場合: (A) を行うと濃度は $\frac{20x}{31}$ (%)。食塩水の重さは 310g。食塩の重さは $2x$ (g)。

ここに 7g の食塩を加えるので、食塩の重さは $2x + 7$ (g)、食塩水の重さは $310 + 7 = 317$ (g)。

濃度は $\frac{2x+7}{317} \times 100$ (%)。これが 4% 以上 6% 以下となるので、

$4 \le \frac{100(2x+7)}{317} \le 6$

$4 \times 317 \le 200x + 700 \le 6 \times 317$

$1268 \le 200x + 700 \le 1902$

$568 \le 200x \le 1202$

$2.84 \le x \le 6.01$

(B) の後 (A) を行う場合: (B) を行うと濃度は $\frac{100(2x+7)}{207}$ (%)。食塩水の重さは 207g。食塩の重さは $2x+7$ (g)。

ここに 110g の水を加えるので、食塩の重さは $2x+7$ (g)、食塩水の重さは $207 + 110 = 317$ (g)。

濃度は $\frac{2x+7}{317} \times 100$ (%)。これが 4% 以上 6% 以下となるので、

$4 \le \frac{100(2x+7)}{317} \le 6$

$4 \times 317 \le 200x + 700 \le 6 \times 317$

$1268 \le 200x + 700 \le 1902$

$568 \le 200x \le 1202$

$2.84 \le x \le 6.01$

(A) の後 (B) でも (B) の後 (A) でも $2.84 \le x \le 6.01$。

(2)より、(A)の操作を1回行うと$6.2 \le x \le 9.3$、(B)の操作を1回行うと$0.64 \le x \le 2.71$ なので、1回の操作では4%以上6%以下になりません。

したがって、$2.84 \le x \le 6.01$。

3. 最終的な答え

(1) 食塩の重さ: $2x$ (g), 濃度: $\frac{20x}{31}$ (%)

(2) $0.64 \le x \le 2.71$, $6.2 \le x \le 9.3$

(3) $2.84 \le x \le 6.01$