$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{6} - \sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})}$

分母を計算します。

$(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$

分子を計算します。

$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{6} - \sqrt{3}) = \sqrt{3}\sqrt{6} - \sqrt{3}\sqrt{3} + \sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{18} - 3 + \sqrt{6} - \sqrt{3} = 3\sqrt{2} - 3 + \sqrt{6} - \sqrt{3}$

したがって、

$\frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{2} - 3 + \sqrt{6} - \sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{3} - \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{2} - 1 + \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} - 1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$

または

$\frac{3\sqrt{2} - 3 + \sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$