$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{6} \times \sqrt[3]{12}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{6} \times \sqrt[3]{12}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

3乗根の性質 $\sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \times b}$ を利用して計算します。

まず、与えられた式を一つの3乗根でまとめます。

$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{6} \times \sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{2 \times 6 \times 12}$

次に、根号の中身を計算します。

$2 \times 6 \times 12 = 2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144$

したがって、

$\sqrt[3]{2 \times 6 \times 12} = \sqrt[3]{144}$

さらに、144を素因数分解すると $144 = 2^4 \times 3^2$ となります。

$\sqrt[3]{144} = \sqrt[3]{2^4 \times 3^2} = \sqrt[3]{2^3 \times 2 \times 3^2} = 2\sqrt[3]{2 \times 9} = 2\sqrt[3]{18}$

しかし、問題はもっと簡単に解けます。

$2 \times 6 \times 12 = 2 \times (2 \times 3) \times (2 \times 2 \times 3) = 2^4 \times 3^2$

これを異なる方法で計算します。

$2 \times 6 \times 12 = 2 \times 6 \times 2 \times 6 = 4 \times 36 = 144$

より直接的な計算では、

$2 \times 6 \times 12 = 12 \times 12 = 144$

$\sqrt[3]{2 \times 6 \times 12} = \sqrt[3]{144} = \sqrt[3]{2^4 \times 3^2} = \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{2 \times 3^2} = 2 \sqrt[3]{18}$

しかし、$2 \times 6 \times 12 = 2 \times (2 \times 3) \times (2 \times 2 \times 3) = 2 \times (2 \times 3) \times (4 \times 3) = 2 \times 6 \times 12 = 144$

$144=8\times 18=2^3 \times (2\times 3^2)=2^4 3^2 =16 \times 9 = 144$

さらに別の方法を試します。

$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{6} \times \sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{2 \times 6 \times 12} = \sqrt[3]{2 \times (2 \times 3) \times (2^2 \times 3)} = \sqrt[3]{2^4 \times 3^2} = \sqrt[3]{2^3 \times 2 \times 3^2} = \sqrt[3]{8 \times 18} = 2 \sqrt[3]{18}$

$144 = 2^4 \times 3^2 = 2^3 \times 2^1 \times 3^2 = 8 \times 18$.

もう一度初めから計算してみます。

$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{6} \times \sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{2 \times 6 \times 12} = \sqrt[3]{2 \times (2 \times 3) \times (2^2 \times 3)} = \sqrt[3]{2^4 \times 3^2} = \sqrt[3]{16 \times 9} = \sqrt[3]{144}$.

ここで、$144 = 2^4 \times 3^2 = 2^3 \times 2 \times 3^2 = 8 \times 18$ と分解できます。

したがって、$\sqrt[3]{144} = \sqrt[3]{8 \times 18} = \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{18} = 2 \sqrt[3]{18}$.

3. 最終的な答え

$2\sqrt[3]{18}$