ある試験のA, B, C組の男女別の平均点が与えられている。 (1) A組の平均点を求める。さらに、B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、$x$ の値を求める。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるような $x$ の値をすべて求める。 (3) C組の2人の男子が試験を受け、$k$ 点とる。C組の平均点がA組の平均点以上であったが、2人の得点を加えて計算し直すと、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。$x$ の値がただ1つに定まるような $k$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

ある試験のA, B, C組の男女別の平均点が与えられている。

(1) A組の平均点を求める。さらに、B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、$x$ の値を求める。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるような $x$ の値をすべて求める。

(3) C組の2人の男子が試験を受け、$k$ 点とる。C組の平均点がA組の平均点以上であったが、2人の得点を加えて計算し直すと、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。$x$ の値がただ1つに定まるような $k$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

A組全体の人数は $32 + 8 = 40$ 人である。A組の合計点は $32 \times 60 + 8 \times 70 = 1920 + 560 = 2480$ 点である。

したがって、A組の平均点は $\frac{2480}{40} = 62$ 点である。

B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、B組全体の合計点は $65(40-x) + 55x = 2600 - 65x + 55x = 2600 - 10x$ である。B組全体の人数は $40-x + x = 40$ 人であるから、B組の平均点は $\frac{2600 - 10x}{40}$ である。

これがA組の平均点62点と等しいので、

$\frac{2600 - 10x}{40} = 62$

$2600 - 10x = 2480$

$10x = 120$

$x = 12$

(2)

C組の平均点は $\frac{59(x+5) + 64(40-x)}{x+5+40-x} = \frac{59x + 295 + 2560 - 64x}{45} = \frac{2855 - 5x}{45}$ である。

C組の平均点がA組の平均点62点以上であるとき、

$\frac{2855 - 5x}{45} \ge 62$

$2855 - 5x \ge 2790$

$65 \ge 5x$

$x \le 13$

B組の合計得点は $65(40-x) + 55x = 2600 - 10x$ であり、C組の合計得点は $59(x+5) + 64(40-x) = 2855 - 5x$ である。

B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるとき、

$|2600 - 10x - (2855 - 5x)| \ge 300$

$| -255 - 5x | \ge 300$

$|5x + 255| \ge 300$

$5x + 255 \ge 300$ または $5x + 255 \le -300$

$5x \ge 45$ または $5x \le -555$

$x \ge 9$ または $x \le -111$

$1 \le x \le 39$ より、$9 \le x \le 39$

したがって、$9 \le x \le 13$ となるので、$x = 9, 10, 11, 12, 13$ である。

(3)

C組の受験者数は $45$ 人であり、合計点は $2855 - 5x$ 点である。

2人の男子の得点が $k$ 点のとき、C組全体の合計点は $2855 - 5x + k$ 点となり、人数は変わらず45人なので、C組の新しい平均点は $\frac{2855 - 5x + k}{45}$ となる。

C組の平均点がA組の平均点62点より低くなったので、

$\frac{2855 - 5x + k}{45} < 62$

$2855 - 5x + k < 2790$

$k < 5x - 65$

当初、C組の平均点はA組の平均点以上だったので、$x \le 13$ であり、かつ $1 \le x \le 39$ であるから、$1 \le x \le 13$ となる。

$x$ の値がただ1つに定まるような $k$ の値を求める。

$k < 5x - 65$ を満たす $x$ が1つに決まるためには、ある整数 $n$ に対して、$5x - 65 = n$ となれば良い。

$x = \frac{n+65}{5}$ が整数となる。

$n+65$ が5の倍数になる必要があり、整数となるのは、$n=5l$ とかける時である。

$k < 5x - 65$ が$x$ ただ一つに決まるには、$k$ が小さい方から数えて最初の値を取れば良い。

$x = 13$ のとき、$k < 5(13) - 65 = 65-65 = 0$

したがって、$k < 0$ となり、$x$ は13に確定する。

$x = 1$ のとき、$k < 5(1) - 65 = -60$

$k < -60$ となり、$x$ は1に確定する。

$x$ が唯一に定まるためには、$x$ が1のときには、$k < 5(1) - 65 = -60$

$x$ が2のときには、$k < 5(2) - 65 = -55$

$x$ が13のときには、$k < 5(13) - 65 = 0$

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点は 62 点。$x = 12$

(2) $x = 9, 10, 11, 12, 13$

(3) k < -60 or k >= 0 のときのkの値は x=1 or x=13 にただ一つに定まる