2つの直線 $x - \sqrt{3}y - 8 = 0$ と $\sqrt{3}x - y - 6 = 0$ のなす鋭角$\theta$を求める。

幾何学直線角度傾き三角関数
2025/7/8

1. 問題の内容

2つの直線 x3y8=0x - \sqrt{3}y - 8 = 03xy6=0\sqrt{3}x - y - 6 = 0 のなす鋭角θ\thetaを求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの直線の傾きを求めます。
x3y8=0x - \sqrt{3}y - 8 = 0を変形すると、3y=x8\sqrt{3}y = x - 8 より、
y=13x83y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \frac{8}{\sqrt{3}}
この直線の傾きを m1m_1 とすると、m1=13m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}です。
3xy6=0\sqrt{3}x - y - 6 = 0を変形すると、y=3x6y = \sqrt{3}x - 6
この直線の傾きを m2m_2 とすると、m2=3m_2 = \sqrt{3}です。
2直線のなす角θ\thetaは、tanθ=m2m11+m1m2\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|で求められます。
この式にm1=13m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}m2=3m_2 = \sqrt{3}を代入すると、
tanθ=3131+133=3131+1=232=13=13\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}} \right| = \left| \frac{\frac{3-1}{\sqrt{3}}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2} \right| = \left| \frac{1}{\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}
tanθ=13\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} となるθ\thetaは、3030^\circです。

3. 最終的な答え

30°

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