円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{2}$, $DA=1$であるとき、 (1) 角Bの大きさ (2) 対角線ACの長さ (3) 四角形ABCDの面積S を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{2}$, $DA=1$であるとき、

(1) 角Bの大きさ

(2) 対角線ACの長さ

(3) 四角形ABCDの面積S

を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角Bについて

四角形ABCDは円に内接するので、向かい合う角の和は180°である。よって、$D = 180^\circ - B$

$\triangle ABC$に余弦定理を適用すると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$

$AC^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos{B}$

$AC^2 = 9 + 2 - 6\sqrt{2} \cos{B}$

$AC^2 = 11 - 6\sqrt{2} \cos{B}$

$\triangle ADC$に余弦定理を適用すると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{D}$

$AC^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos{(180^\circ - B)}$

$AC^2 = 1 + 2 - 2\sqrt{2} \cdot (-\cos{B})$

$AC^2 = 3 + 2\sqrt{2} \cos{B}$

よって、$11 - 6\sqrt{2} \cos{B} = 3 + 2\sqrt{2} \cos{B}$

$8\sqrt{2} \cos{B} = 8$

$\cos{B} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$B = 45^\circ$

(2) ACの長さについて

$AC^2 = 3 + 2\sqrt{2} \cos{B}$

$AC^2 = 3 + 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$AC^2 = 3 + 2$

$AC^2 = 5$

$AC = \sqrt{5}$

(3) 四角形ABCDの面積Sについて

四角形ABCDの面積は、$\triangle ABC$と$\triangle ADC$の面積の和である。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{B} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin{45^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2}$

$\triangle ADC = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin{D} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin{(180^\circ - 45^\circ)} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin{45^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

$S = \triangle ABC + \triangle ADC = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $B = 45^\circ$

(2) $AC = \sqrt{5}$

(3) $S = 2$