(1) 男子3人、女子3人の計6人が1列に並ぶとき、男子3人が隣り合う並び方は何通りあるか。 (2) 5個の数字0, 1, 2, 3, 4を用いて作った各位の数字がすべて異なる5桁の整数について、小さい方から55番目の数は何か。 (3) 右の図のような街路がある。PからRまたはSを通ってQに行く最短経路は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 男子3人、女子3人の計6人が1列に並ぶとき、男子3人が隣り合う並び方は何通りあるか。

(2) 5個の数字0, 1, 2, 3, 4を用いて作った各位の数字がすべて異なる5桁の整数について、小さい方から55番目の数は何か。

(3) 右の図のような街路がある。PからRまたはSを通ってQに行く最短経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 男子3人が隣り合うので、男子3人を1つのグループとして考える。

このグループと女子3人の計4つのものを並べる順列は $4!$ 通り。

男子3人のグループ内での並び方は $3!$ 通り。

したがって、求める並び方は $4! \times 3!$ 通り。

(2) 5桁の整数なので、一番左の桁に0は来ない。

小さい方から順に並べていく。

10000から始まる数は $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 個

20000から始まる数は $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 個

ここまでで48個なので、残り7個を考える。

30124, 30142, 30214, 30241, 30412, 30421, 31024。

したがって、55番目の数は31024。

(3) PからRまでの最短経路は $\frac{4!}{2!2!} = 6$ 通り。

RからQまでの最短経路は $\frac{7!}{4!3!} = 35$ 通り。

したがって、PからRを通ってQまでの最短経路は $6 \times 35 = 210$ 通り。

PからSまでの最短経路は $\frac{5!}{2!3!} = 10$ 通り。

SからQまでの最短経路は $\frac{6!}{4!2!} = 15$ 通り。

したがって、PからSを通ってQまでの最短経路は $10 \times 15 = 150$ 通り。

RとSは同時に通ることができないので、PからRまたはSを通ってQに行く最短経路は $210 + 150 = 360$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 144通り

(2) 31024

(3) 360通り