7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる3個の整数を使って3桁の整数を作る。作れる整数の総数、そのうち4の倍数となる整数の数、3の倍数となる整数の数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる3個の整数を使って3桁の整数を作る。作れる整数の総数、そのうち4の倍数となる整数の数、3の倍数となる整数の数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

ア. 3桁の整数の総数を求める。

まず、百の位に使える数字は0以外の6個。十の位には、百の位で使った数字以外の6個。一の位には、百の位と十の位で使った数字以外の5個が使える。したがって、3桁の整数の総数は $6 \times 6 \times 5 = 180$ 通り。

イ. 4の倍数となる3桁の整数の数を求める。

3桁の整数が4の倍数となるためには、下2桁が4の倍数である必要がある。

下2桁が4の倍数となる組み合わせは、04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64の16個。このうち、使用できる数字(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)のみを使った組み合わせは、04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 52, 56, 60, 64の12個。

それぞれの場合について、百の位に使える数字の数を考える。

- 下2桁が04の場合、百の位には1, 2, 3, 5, 6の5個が使える。

- 下2桁が12の場合、百の位には0, 3, 4, 5, 6の5個が使える。

- 下2桁が16の場合、百の位には0, 2, 3, 4, 5の5個が使える。

- 下2桁が20の場合、百の位には1, 3, 4, 5, 6の5個が使える。

- 下2桁が24の場合、百の位には0, 1, 3, 5, 6の5個が使える。

- 下2桁が32の場合、百の位には0, 1, 4, 5, 6の5個が使える。

- 下2桁が36の場合、百の位には0, 1, 2, 4, 5の5個が使える。

- 下2桁が40の場合、百の位には1, 2, 3, 5, 6の5個が使える。

- 下2桁が52の場合、百の位には0, 1, 3, 4, 6の5個が使える。

- 下2桁が56の場合、百の位には0, 1, 2, 3, 4の5個が使える。

- 下2桁が60の場合、百の位には1, 2, 3, 4, 5の5個が使える。

- 下2桁が64の場合、百の位には0, 1, 2, 3, 5の5個が使える。

したがって、4の倍数となる3桁の整数の数は、 $5 \times 12 = 60$ 通り。ただし、上記には百の位に同じ数字が重複して現れている場合がある。注意深く調べると、どの組み合わせでも百の位に0が入らない場合でも５つの可能性があり、百の位に0が入る場合は０以外の４つの可能性があるので、単純に５倍するだけでは正しくない。

4の倍数となる条件は、下2桁が4の倍数であること。

下2桁の組み合わせを先に考える。

- 04, 20, 40, 60：百の位は0,4を除く5通り。 $4 \times 5 = 20$通り。

- 12, 16, 32, 36, 52, 56, 64, 24：百の位は下2桁の数を除き、0を除く4通り。$8 \times 4 = 32$通り。

合計すると、$20 + 32 = 52$通り。

ウ. 3の倍数となる3桁の整数の数を求める。

3桁の整数が3の倍数となるためには、各位の数字の和が3の倍数である必要がある。

使える数字は0, 1, 2, 3, 4, 5, 6。

3つの数字の和が3の倍数になる組み合わせを考える。

- 和が3になる組み合わせ：0+1+2 (3!=6通り、ただし百の位が0になる場合を除き4通り)

- 和が6になる組み合わせ：0+1+5, 0+2+4, 1+2+3 (それぞれ4通り)

- 和が9になる組み合わせ：0+3+6, 0+4+5, 1+2+6, 1+3+5, 2+3+4 (それぞれ4通り,ただし0を含む場合は百の位が0にならない4通り)

- 和が12になる組み合わせ：1+5+6, 2+4+6, 3+4+5 (それぞれ6通り)

- 和が15になる組み合わせ：4+5+6 (6通り)

合計：4 + 3*4 + 3*4+2*4 + 3*6 + 6=4 + 12 + 12 + 8 +18+6=60

しかし、このやり方では場合分けが複雑になり、数え間違いが起きやすい。

3の倍数判定は各位の数字の和が3の倍数になるかどうかを考える。

まず、0,1,2,3,4,5,6 を3で割った余りで分類すると、

余り0：0,3,6

余り1：1,4

余り2：2,5

となる。

3つの数の和が3の倍数となるのは、

(1) 全て余り0

(2) 全て余り1

(3) 全て余り2

(4) 余り0, 1, 2がそれぞれ1つずつ

の場合である。

(1) 0,3,6から3つ選ぶ組み合わせは1通り。並べ方は3!=6通り。ただし、0が先頭に来る場合を除くので、6-2=4通り。

(2) 1,4から3つ選ぶ組み合わせは0通り。

(3) 2,5から3つ選ぶ組み合わせは0通り。

(4) 0,3,6から1つ、1,4から1つ、2,5から1つ選ぶ組み合わせは 3 * 2 * 2 = 12通り。並べ方は3!=6通り。ただし、0が先頭に来る場合を除く必要がある。0を含む場合、例えば 0,1,2 の並べ方は 120, 210, 102, 120, 201, 210 より 4通り。0を含まない場合は6通り。

3*2*2=12通りのうち、0を含むのは、(0,1,2),(0,1,5),(0,4,2),(0,4,5)の4通りで、残りの8通りは0を含まない。

従って、4*4+8*6=16+48=64通り。

合計すると、4+64=68通り。

3. 最終的な答え

ア: 180

イ: 52

ウ: 68