7個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の中から異なる5個の数字を選んで5桁の整数を作る問題です。 (1) 整数全体の個数 (2) 奇数の個数 (3) 偶数の個数 (4) 5の倍数の個数 (5) 3の倍数の個数

1. 問題の内容

7個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の中から異なる5個の数字を選んで5桁の整数を作る問題です。

(1) 整数全体の個数

(2) 奇数の個数

(3) 偶数の個数

(4) 5の倍数の個数

(5) 3の倍数の個数

2. 解き方の手順

(1) 整数全体の個数:

まず、千の位には0以外の6つの数字から1つ選ぶことができます。

次に、残りの6つの数字から4つを選び、並べる順序も考慮します。

これは順列の問題なので、$6 \times {}_6P_4$ で計算できます。

${}_6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

よって、全体の個数は $6 \times 360 = 2160$ です。

(2) 奇数の個数:

一の位が奇数になるのは1, 3, 5のいずれかを選ぶ場合です。

まず、一の位に奇数を1つ選びます。これは3通りあります。

次に、千の位は0を選べないので、場合分けが必要です。

(i) 一の位が奇数で、千の位が0でない場合:

千の位には残りの6つの数字から1つ選ぶことができます(0を除く)。

残りの5つの数字から3つを選び、並べるので、$5 \times {}_5P_3 = 5 \times (5 \times 4 \times 3) = 5 \times 60 = 300$

よって、この場合の数は $3 \times 300 = 900$ となります。

(3) 偶数の個数:

全体の個数から奇数の個数を引けば偶数の個数になります。

$2160 - 900 = 1260$

(4) 5の倍数の個数:

5の倍数となるためには、一の位が0か5である必要があります。

(i) 一の位が0の場合:

千の位には残りの6つの数字から1つ選ぶことができます。

残りの6つの数字から4つを選び、並べるので、${}_6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

(ii) 一の位が5の場合:

千の位には0を選べないので、場合分けが必要です。

(a) 千の位が0でない場合:

千の位には残りの5つの数字から1つ選ぶことができます。

残りの5つの数字から3つを選び、並べるので、${}_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$

よって、この場合の数は $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

$300$

よって、$360+300=660$となります

(5) 3の倍数の個数:

各位の数の和が3の倍数になるように5つの数字を選びます。

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の中から

(0, 1, 2, 3, 6), (0, 2, 3, 4, 6), (1, 2, 3, 4, 5), (0, 1, 2, 4, 5), (0, 3, 4, 5, 6), (1, 2, 4, 5, 6) の組み合わせが考えられます。

(1,2,3,4,6)の組み合わせは$5! = 120$通り。

(0,1,2,3,6), (0,2,3,4,6),(0,1,2,4,5),(0,3,4,5,6)の組み合わせは$5!-4! = 120-24 = 96$通り。

(1,2,3,4,5) の組み合わせは$5! = 120$通り。

(1,2,4,5,6)の組み合わせは$5! = 120$通り。

よって、$120+4\times96+120+120 = 120+384+240 = 744$通り。

3. 最終的な答え

(1) 2160

(2) 900

(3) 1260

(4) 660

(5) 744