円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, AD=3, 角BAD=120°とし、対角線ACは円の中心Oを通る。対角線BDの長さ、三角形ACDの外接円の半径R、三角形BODの面積、四角形ABCDの面積をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, AD=3, 角BAD=120°とし、対角線ACは円の中心Oを通る。対角線BDの長さ、三角形ACDの外接円の半径R、三角形BODの面積、四角形ABCDの面積をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線BDの長さを求める。三角形ABDにおいて余弦定理を用いる。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(120^\circ)$

$BD^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 25 + 9 + 15 = 49$

$BD = 7$

(2) 円の中心を通るACは直径なので、角ADCは90度。

四角形ABCDは円に内接するので、角BCD = 180° - 角BAD = 180° - 120° = 60°。

三角形ACDは直角三角形なので、$AC^2 = AD^2 + CD^2$。

また、三角形BCDにおいて余弦定理を用いる。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(60^\circ)$

$49 = BC^2 + CD^2 - BC \cdot CD$

(3) 三角形ACDにおいて、sinの定理より、$\frac{AD}{\sin \angle ACD} = 2R$。

∠ACD = ∠ABD

三角形ABDにおいて、sinの定理より、$\frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{7}{\sin 120^{\circ}} = \frac{7}{\sqrt{3}/2} = \frac{14}{\sqrt{3}} = 2R'$

R'は三角形ABDの外接円の半径。

円Oの半径はAC/2

三角形ACDは直角三角形なので、ACは直径となる。

$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2}$

円の半径をRとすると、$\angle ADC = 90^{\circ}$なので、ACは直径となる。

$AC = 2R$

$\angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$。

$\angle ACB = 90^{\circ}$なので、$\angle BAC = 30^{\circ}$。

三角形ABCに正弦定理を適用すると、

$\frac{BC}{\sin 120^{\circ}} = \frac{AB}{\sin 90^{\circ}} = \frac{AC}{\sin 60^{\circ}}$

$AC = \frac{AB \cdot \sin 60^{\circ}}{\sin 90^{\circ}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

したがって、半径Rは$AC/2 = \frac{5\sqrt{3}}{4}$

$R = \frac{5\sqrt{3}}{4}$

(4) 三角形BODの面積を求める。

∠BOD = 2∠BAD = 2*60° = 120°

OB = OD = $\frac{5\sqrt{3}}{4}$

三角形BODの面積は $\frac{1}{2} \cdot (\frac{5\sqrt{3}}{4})^2 \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{25 \cdot 3}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{64}$

(5) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積 = 三角形ABD + 三角形BCD

三角形ABDの面積 = $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

三角形BCDの面積 = $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin 60^\circ$

$BC = AB \cdot \sin(ADC)/ \sin(BDC)= AB \cdot \sin(90)/ sin(ADB)= \frac{5}{ sin(ADB)}$

$\angle ADB = \angle ACB$

$2R=AC = \frac{5\sqrt{3}}{2}$。$CD = AC \sin 30^{\circ} = 5\sqrt{3}/2 * 1/2= \frac{5\sqrt{3}}{4}$

$AD=3$であるから、$BC = AC sin60 =5 \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{15}{4}$

$三角形BCDの面積 = \frac{1}{2} BC CD sin60 = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{225}{64}$

四角形ABCDの面積 = $\frac{15\sqrt{3}}{4} +\frac{225}{64}$

3. 最終的な答え

ア: 7

イ: $\frac{5\sqrt{3}}{4}$

ウ: $\frac{75\sqrt{3}}{64}$

エ: $\frac{15\sqrt{3}}{4} +\frac{225}{64}$