与えられた数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\frac{7}{10}$ は第何項か。 (2) 第100項を求めよ。 (3) 初項から第100項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\frac{7}{10}$ は第何項か。

(2) 第100項を求めよ。

(3) 初項から第100項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{7}{10}$が第何項か調べる。

数列は、分母が $2, 3, 4, 5, 6, \dots$ と増えていく。分母が $n$ のとき、分子は $1, 2, 3, \dots, n-1$ と変化する。

分母が 10 のとき、$\frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{10}, \frac{5}{10}, \frac{6}{10}, \frac{7}{10}, \frac{8}{10}, \frac{9}{10}$ となる。$\frac{7}{10}$は分母が10の項の中で7番目。

分母が $n$ の数列の項数は $n-1$ 個である。したがって、分母が 9 までの項数は、

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45$ 個。

$\frac{7}{10}$ はその次の7番目だから、$45 + 7 = 52$ 項。

(2) 第100項を求める。

まず、第100項がどの分母の項に含まれるか調べる。分母が $n$ までの項数の合計を $S_n$ とすると、

$S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$。

$\frac{n(n+1)}{2} \ge 100$ となる最小の $n$ を探す。

$n(n+1) \ge 200$ となる $n$ は、

$n=13$ のとき $13 \cdot 14 = 182$。

$n=14$ のとき $14 \cdot 15 = 210$。

したがって、第100項は分母が 14 の項に含まれる。

分母が13までの項数は $\frac{13 \cdot 14}{2} = 91$。

したがって、第100項は分母が14の数列の9番目。つまり$\frac{9}{14}$。

(3) 初項から第100項までの和を求める。

分母が $k$ の項の和は $\frac{1+2+3+\dots+(k-1)}{k} = \frac{\frac{(k-1)k}{2}}{k} = \frac{k-1}{2}$ である。

分母が2から13までの和は、

$\sum_{k=2}^{13} \frac{k-1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{13} (k-1) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{12} k = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 \cdot 13}{2} = \frac{1}{2} \cdot 78 = 39$

第92項から第100項は、分母が14の $\frac{1}{14}, \frac{2}{14}, \dots, \frac{9}{14}$ であるから、その和は

$\sum_{k=1}^{9} \frac{k}{14} = \frac{1}{14} \sum_{k=1}^{9} k = \frac{1}{14} \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = \frac{1}{14} \cdot 45 = \frac{45}{14}$

したがって、初項から第100項までの和は $39 + \frac{45}{14} = \frac{39 \cdot 14 + 45}{14} = \frac{546 + 45}{14} = \frac{591}{14}$。

3. 最終的な答え

(1) 52項

(2) $\frac{9}{14}$

(3) $\frac{591}{14}$