与えられた情報から三角比の値や三角形の辺の長さ、面積などを求める問題です。具体的には、 (1) $\sin\theta = \frac{2}{3}$ のときの $\cos\theta$, $\tan\theta$, $\sin(180^\circ - \theta)$, $\tan(90^\circ - \theta)$ の値を求める。 (2) $\triangle ABC$ において、$BC=3$, $\angle A=60^\circ$, $\angle C=45^\circ$ のときの $AB$ の長さと外接円の半径を求める。 (3) $\triangle ABC$ において、$AB=3$, $CA=8$, $\angle A=60^\circ$ のときの $BC$ の長さと面積を求める。 (4) $AB=5$, $AC=12$, $BC=13$ の直角三角形 $ABC$ において、頂点 $A$ から底辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とするときの $AH$ と $BH$ の長さを求める。

1. 問題の内容

与えられた情報から三角比の値や三角形の辺の長さ、面積などを求める問題です。具体的には、

(1) $\sin\theta = \frac{2}{3}$ のときの $\cos\theta$, $\tan\theta$, $\sin(180^\circ - \theta)$, $\tan(90^\circ - \theta)$ の値を求める。

(2) $\triangle ABC$ において、$BC=3$, $\angle A=60^\circ$, $\angle C=45^\circ$ のときの $AB$ の長さと外接円の半径を求める。

(3) $\triangle ABC$ において、$AB=3$, $CA=8$, $\angle A=60^\circ$ のときの $BC$ の長さと面積を求める。

(4) $AB=5$, $AC=12$, $BC=13$ の直角三角形 $ABC$ において、頂点 $A$ から底辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とするときの $AH$ と $BH$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\cos\theta = \pm\sqrt{1-\sin^2\theta}$。$0^\circ < \theta < 90^\circ$ なので、$\cos\theta > 0$。

$\cos\theta = \sqrt{1-(\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta = \frac{2}{3}$

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(2)

正弦定理より $\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$。

$\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{3}{\sin 60^\circ}$

$AB = \frac{3 \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$

外接円の半径 $R$ は、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$

$2R = \frac{3}{\sin 60^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

$R = \sqrt{3}$

(3)

余弦定理より $BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos A$

$BC^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cos 60^\circ = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49$

$BC = 7$

面積 $S = \frac{1}{2} AB \cdot CA \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

(4)

$\triangle ABC$ は直角三角形なので、面積は $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$

また、面積は $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$ とも表せるので、$\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot AH = 30$

$AH = \frac{60}{13}$

$\triangle ABH$ は直角三角形なので、$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$5^2 = (\frac{60}{13})^2 + BH^2$

$25 = \frac{3600}{169} + BH^2$

$BH^2 = 25 - \frac{3600}{169} = \frac{4225 - 3600}{169} = \frac{625}{169}$

$BH = \frac{25}{13}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\sin(180^\circ - \theta) = \frac{2}{3}$, $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(2) $AB = \sqrt{6}$, 外接円の半径は $\sqrt{3}$

(3) $BC = 7$, 面積は $6\sqrt{3}$

(4) $AH = \frac{60}{13}$, $BH = \frac{25}{13}$