円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2、BC=4、CD=3、DA=2である。 (1) 対角線ACの長さを求めよ。 (2) 四角形ABCDの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2、BC=4、CD=3、DA=2である。

(1) 対角線ACの長さを求めよ。

(2) 四角形ABCDの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さを求める。

四角形ABCDが円に内接するので、∠B + ∠D = 180°。∠D = 180° - ∠B。

余弦定理より、

三角形ABCにおいて、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB\cdot BC \cos B = 2^2 + 4^2 - 2\cdot 2\cdot 4 \cos B = 20 - 16\cos B$

三角形ADCにおいて、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD\cdot CD \cos D = 2^2 + 3^2 - 2\cdot 2\cdot 3 \cos (180^\circ - B) = 13 - 12\cos(180^\circ - B) = 13 + 12\cos B$

よって、$20 - 16\cos B = 13 + 12\cos B$

$7 = 28\cos B$

$\cos B = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

$AC^2 = 20 - 16\cos B = 20 - 16(\frac{1}{4}) = 20 - 4 = 16$

$AC = \sqrt{16} = 4$

(2) 四角形ABCDの面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2}AB\cdot BC \sin B + \frac{1}{2}AD\cdot CD \sin D = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \sin B + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \sin(180^\circ - B) = 4\sin B + 3\sin B = 7\sin B$

$\cos B = \frac{1}{4}$より、$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$

$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin B = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$S = 7\sin B = 7 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{7\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 対角線ACの長さ: 4

(2) 四角形ABCDの面積S: $\frac{7\sqrt{15}}{4}$