三角形ABCにおいて、角ABCが鋭角のときにも正弦定理が成り立つかどうかを考察する。 頂点Bから対辺CAに垂線BHを引く。△AHBにおいて、BHを角度Aを用いて表し、△CHBにおいて、BHを角度Cを用いて表す。 これらのBHの長さを表す式から、$\frac{c}{sin C}$ を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角ABCが鋭角のときにも正弦定理が成り立つかどうかを考察する。

頂点Bから対辺CAに垂線BHを引く。△AHBにおいて、BHを角度Aを用いて表し、△CHBにおいて、BHを角度Cを用いて表す。

これらのBHの長さを表す式から、$\frac{c}{sin C}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle AHB$において、$BH$を$c$と$\sin A$を用いて表す。$\sin A = \frac{BH}{c}$であるから、

$BH = c \sin A$

$\triangle CHB$において、問題文から$BH = a \sin C$である。

したがって、

$c \sin A = a \sin C$

この式の両辺を$\sin A \sin C$で割ると、

$\frac{c \sin A}{\sin A \sin C} = \frac{a \sin C}{\sin A \sin C}$

$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$

同様に、頂点Aから辺BCに垂線を下ろすことによって、$\frac{b}{\sin B}$も同じ値を持つことが示せるので、正弦定理が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$