$xyz$座標空間内の3点 $A = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答える。 (1) 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式を求め、その直線を集合として表す。 (2) 3点A, B, Cを通る平面の方程式を標準形で求め、その平面を集合として表す。

1. 問題の内容

$xyz$座標空間内の3点 $A = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答える。

(1) 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式を求め、その直線を集合として表す。

(2) 3点A, B, Cを通る平面の方程式を標準形で求め、その平面を集合として表す。

2. 解き方の手順

(1) 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式は、位置ベクトル$\vec{p}$を用いて、

$\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$ で表せる。ここで $\vec{a}$ は点Aの位置ベクトル、$\vec{b}$ は点Bの位置ベクトル、 $t$は実数パラメータである。

$\vec{b} - \vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

したがって、直線のベクトル方程式は

$\vec{p} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 2t \\ 2t \\ 1 + 2t \end{bmatrix}$

この直線を集合として表すと、

$L = \{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 | \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 2t \\ 2t \\ 1 + 2t \end{bmatrix}, t \in \mathbb{R} \}$

(2) 3点A, B, Cを通る平面の方程式を求める。平面上の任意の点$\vec{p}$に対して、ベクトル$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ と $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$ で張られる平面上に$\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a}$ があればよい。これは、ベクトル$\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AP}$ が線形従属であることと同値であり、3つのベクトルでできる行列式が0になることと同値である。あるいは、$\vec{AB} \times \vec{AC}$ が平面の法線ベクトルになることを利用できる。

$\vec{AB} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\vec{AC} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(2) - (2)(0) \\ (2)(4) - (2)(2) \\ (2)(0) - (2)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \end{bmatrix}$

法線ベクトルを $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ としても良い。平面の方程式は $ax + by + cz = d$ で表され、法線ベクトルが$\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$となる。

したがって平面の方程式は $x + y - 2z = d$ と表せる。この平面は点Aを通るので、

$-1 + 0 - 2(1) = d \Rightarrow d = -3$

したがって、平面の方程式は $x + y - 2z = -3$

標準形では $x + y - 2z + 3 = 0$

平面を集合として表すと、

$S = \{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 | x + y - 2z + 3 = 0 \}$

3. 最終的な答え

(1) 直線のベクトル方程式: $\vec{p} = \begin{bmatrix} -1 + 2t \\ 2t \\ 1 + 2t \end{bmatrix}$

直線の集合表現: $L = \{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 | \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 2t \\ 2t \\ 1 + 2t \end{bmatrix}, t \in \mathbb{R} \}$

(2) 平面の方程式（標準形）: $x + y - 2z + 3 = 0$

平面の集合表現: $S = \{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 | x + y - 2z + 3 = 0 \}$