円Oにおいて、$\angle OAB = 15^\circ$, $\angle ABC = 40^\circ$である。$\angle ACB = x$を求めよ。

1. 問題の内容

円Oにおいて、$\angle OAB = 15^\circ$, $\angle ABC = 40^\circ$である。$\angle ACB = x$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle OAB$は$OA = OB$の二等辺三角形であるから、$\angle OBA = \angle OAB = 15^\circ$である。

よって、$\angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA = 180^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 150^\circ$となる。

次に、円周角の定理より、$\angle ACB$は弧ABに対する円周角であり、$\angle AOB$は弧ABに対する中心角であるから、

$\angle AOB = 2 \angle ACB$が成り立つ。

したがって、$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 150^\circ = 75^\circ$となる。

しかし、$\angle ACB$ は問題文で $x$ で与えられており、$\angle ABC = 40^\circ$ も与えられているので、$x = 75^\circ$は誤りである。

$\angle ABC = 40^\circ$を考慮して、再度考える。

$\angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 40^\circ - 15^\circ = 25^\circ$である。

$\triangle OBC$は$OB=OC$の二等辺三角形なので、$\angle OCB = \angle OBC = 25^\circ$である。

よって、$\angle BOC = 180^\circ - \angle OBC - \angle OCB = 180^\circ - 25^\circ - 25^\circ = 130^\circ$となる。

$\angle AOC$は、$360^\circ - \angle AOB - \angle BOC = 360^\circ - 150^\circ - 130^\circ = 80^\circ$である。

円周角の定理より、$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$である。これは与えられた条件と一致する。

$\angle A = 15^\circ$, $\angle B = 40^\circ$ なので、三角形の内角の和は $180^\circ$であるから、$15^\circ + 40^\circ + x + \angle CAB = 180^\circ$。

$\angle OAC$と$\angle OAB$は一致するので$\angle OAC = 15^\circ$

$\angle OBC = 25^\circ$であり、$x=\angle ACB = 25^\circ$

$\angle BAC = 15^\circ$である。

したがって、$x = 25^\circ$

3. 最終的な答え

25