画像には三角形ABCがあり、頂点Cから辺ABに垂線CHが引かれています。辺BCの長さは$a$、辺ABの長さは$c$と表記されています。 画像には $c \sin A = a \sin C$ と書かれており、これが問題または示したい関係式であると考えられます。

1. 問題の内容

画像には三角形ABCがあり、頂点Cから辺ABに垂線CHが引かれています。辺BCの長さは$a$、辺ABの長さは$c$と表記されています。

画像には $c \sin A = a \sin C$ と書かれており、これが問題または示したい関係式であると考えられます。

2. 解き方の手順

三角形ACHに注目すると、

$\sin A = \frac{CH}{AC}$

$AC = b$とすると、

$CH = b \sin A$

三角形BCHに注目すると、

$\sin C = \frac{BH}{BC}$

$BC = a$なので、

$BH = a \sin C$

三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} \times AB \times CH = \frac{1}{2} c \times CH = \frac{1}{2} c b \sin A$

また

$S = \frac{1}{2} \times BC \times AH$

三角形ABCについて、正弦定理を適用すると

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

この式を変形すると

$a \sin C = c \sin A$

画像から、辺BCの長さが$a$で、点Bから線分ACへの垂線の長さは$a \sin C$と書かれています。同様に、点Aから線分BCへの垂線の長さは$c \sin A$と書かれるはずですが、画像にはありません。

しかし、三角形の面積を2通りの方法で表すことで、$a \sin C = c \sin A$ を導くことができます。

3. 最終的な答え

$c \sin A = a \sin C$