一辺の長さが $a$ である立方体の各面の中心を結んでできる正八面体について、以下の問いに答える問題です。 * 正八面体の一辺の長さを求める。 * 正八面体の体積を求める。 * 辺を共有する2つの面のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ である立方体の各面の中心を結んでできる正八面体について、以下の問いに答える問題です。

* 正八面体の一辺の長さを求める。

* 正八面体の体積を求める。

* 辺を共有する2つの面のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

* **正八面体の一辺の長さを求める:**

立方体の一つの面に着目すると、正八面体の一辺はその面の隣り合う中心を結んだ線になります。この長さは、一辺 $a$ の正方形の対角線の半分であり、これは一辺の長さが $a/2$ の正方形の対角線の長さに等しくなります。したがって、正八面体の一辺の長さは、三平方の定理から $a/\sqrt{2}$ となります。

$\sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/4} = \sqrt{a^2/2} = a/\sqrt{2}$

* **正八面体の体積を求める:**

正八面体は、正四角錐2つを底面で合わせた形と見ることができます。この四角錐の底面は一辺 $a/\sqrt{2}$ の正方形で、高さは $a/2$ です。

正四角錐の体積は（底面積）×（高さ）×（1/3）で計算できます。

底面積は $(a/\sqrt{2})^2 = a^2/2$

四角錐の体積は $(a^2/2) \times (a/2) \times (1/3) = a^3/12$

正八面体はこの四角錐2つ分なので、体積は $2 \times (a^3/12) = a^3/6$ となります。

* **$\cos \theta$ を求める:**

正八面体の、辺を共有する2つの面のなす角を $\theta$ とします。正八面体の一つの頂点に集まる4つの面を考えます。この頂点に集まる面で作られる四面体を考えます。頂点から面への垂線を考え、そのなす角を $\theta / 2$ とすると、

$\cos(\theta/2) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

正八面体の一辺を $l$ とすると、$l = a/\sqrt{2}$ であり、2つの面の中心を結んだ線は、長さ $a/2$ の線となります。したがって、正八面体の中心から面までの距離は $a/2$ となります。この長さと、$l$ を用いてcos$\theta$ を計算します。

$\cos \theta = 1/3$

3. 最終的な答え

* 正八面体の一辺の長さ: $a/\sqrt{2}$

* 正八面体の体積: $a^3/6$

* $\cos \theta$: $1/3$