$AB = AC$である二等辺三角形$ABC$において、頂点$B, C$から対辺に下ろした垂線と対辺との交点をそれぞれ$D, E$とする。$BD$と$CE$の交点を$F$とするとき、$\triangle FBC$が二等辺三角形であることを証明する。

1. 問題の内容

$AB = AC$である二等辺三角形$ABC$において、頂点$B, C$から対辺に下ろした垂線と対辺との交点をそれぞれ$D, E$とする。$BD$と$CE$の交点を$F$とするとき、$\triangle FBC$が二等辺三角形であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle EBC$と$\triangle DCB$に着目する。

仮定より、$\angle BEC = \angle CDB = 90^\circ$である。

また、$BC$は共通の辺である。

さらに、$\triangle ABC$は二等辺三角形なので、$\angle ABC = \angle ACB$である。

したがって、$\angle DCB = \angle EBC$が成り立つ。

以上より、$\triangle EBC$と$\triangle DCB$は、直角三角形において、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、合同である。

$\triangle EBC \equiv \triangle DCB$

合同な図形の対応する角は等しいので、

$\angle FCB = \angle FBC$

よって、$\triangle FBC$において、2角が等しくなるので、$\triangle FBC$は二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

$\triangle EBC \equiv \triangle DCB$より、$\angle FCB = \angle FBC$であるから、$\triangle FBC$は二等辺三角形である。