$xy$ 平面上の相異なる 3 点 $(a_1, a_2)$, $(b_1, b_2)$, $(c_1, c_2)$ が同一直線上にあるための必要十分条件が、 $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ であることを示す。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上の相異なる 3 点 $(a_1, a_2)$, $(b_1, b_2)$, $(c_1, c_2)$ が同一直線上にあるための必要十分条件が、

$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{vmatrix} = 0$

であることを示す。

2. 解き方の手順

まず、3点 $(a_1, a_2)$, $(b_1, b_2)$, $(c_1, c_2)$ が同一直線上にあるための条件を考える。3点が同一直線上にあるということは、例えば点 $(b_1, b_2)$ が点 $(a_1, a_2)$ と $(c_1, c_2)$ を通る直線上にあると言える。

点 $(a_1, a_2)$ と $(c_1, c_2)$ を通る直線の方程式は、

$\frac{y - a_2}{x - a_1} = \frac{c_2 - a_2}{c_1 - a_1}$

と表せる。これを整理すると、

$(y - a_2)(c_1 - a_1) = (x - a_1)(c_2 - a_2)$

$(c_1 - a_1)y - a_2(c_1 - a_1) = (c_2 - a_2)x - a_1(c_2 - a_2)$

$(c_2 - a_2)x - (c_1 - a_1)y + a_2(c_1 - a_1) - a_1(c_2 - a_2) = 0$

となる。点 $(b_1, b_2)$ がこの直線上にあるためには、

$(c_2 - a_2)b_1 - (c_1 - a_1)b_2 + a_2(c_1 - a_1) - a_1(c_2 - a_2) = 0$

が成り立つ必要がある。これを整理すると、

$c_2b_1 - a_2b_1 - c_1b_2 + a_1b_2 + a_2c_1 - a_2a_1 - a_1c_2 + a_1a_2 = 0$

$a_1b_2 - a_1c_2 - a_2b_1 + a_2c_1 + b_1c_2 - b_2c_1 = 0$

となる。これは行列式

$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{vmatrix} = a_1(b_2 - c_2) - a_2(b_1 - c_1) + (b_1c_2 - b_2c_1) = a_1b_2 - a_1c_2 - a_2b_1 + a_2c_1 + b_1c_2 - b_2c_1$

と一致する。したがって、3点が同一直線上にあるための必要十分条件は、

$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{vmatrix} = 0$

である。

3. 最終的な答え

$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{vmatrix} = 0$