三角形ABCにおいて、点Oは外心であり、$\angle BAC = 20^\circ$, $\angle ABC = 40^\circ$である。また、辺BCの中点をMとする。$OM = 3$のとき、$\angle OCA$, $\angle OCB$, および三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Oは外心であり、$\angle BAC = 20^\circ$, $\angle ABC = 40^\circ$である。また、辺BCの中点をMとする。$OM = 3$のとき、$\angle OCA$, $\angle OCB$, および三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle OCA$ を求める。三角形OCAは二等辺三角形である（$OA = OC$）。したがって、$\angle OCA = \angle OAC = 20^\circ$となる。

次に、$\angle OCB$ を求める。三角形OBCも二等辺三角形である（$OB = OC$）。$\angle BOC$は$\angle BAC$の2倍なので、$\angle BOC = 2 \times \angle BAC = 2 \times (180 - (20+40)) = 2 \times (180 - 60)= 2 \times 120 = 240$。よって、$\angle OBC + \angle OCB = (360 - 2\times20 - 2\times40) = 180 - \angle BOC = 180-100 = 80^\circ / 2 = 40 \deg$.

したがって、$2 \times \angle OBC = 140^\circ$, $\angle OBC =40^\circ$,そして$\angle OCB = 30^\circ$

三角形OMCにおいて、$\angle OMC = 90^\circ$であり、$OM = 3$である。$\angle OCB = 30^\circ$なので、$OC = 2 \times OM = 2 \times 3 = 6$。$OC$は外接円の半径である。

3. 最終的な答え

$\angle OCA = 20^\circ$

$\angle OCB = 30^\circ$

外接円の半径 = 6