加法定理を用いて、$\tan 105^\circ$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

加法定理を用いて、$\tan 105^\circ$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan 105^\circ$ を求めるために、加法定理を利用します。$105^\circ$ を $45^\circ + 60^\circ$ と分解し、$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ を利用します。

まず、$A = 45^\circ$、$B = 60^\circ$ とすると、$\tan 45^\circ = 1$、$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ となります。

加法定理の公式に代入すると、

$\tan (45^\circ + 60^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 60^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 60^\circ}$

$\tan 105^\circ = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $1 + \sqrt{3}$ を掛けます。

$\tan 105^\circ = \frac{(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$-2 - \sqrt{3}$