$xyz$ 座標空間内の3点 $A = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式を求め、集合として表します。 (2) 3点A, B, Cを通る平面の方程式を標準形で求め、集合として表します。

1. 問題の内容

$xyz$ 座標空間内の3点 $A = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式を求め、集合として表します。

(2) 3点A, B, Cを通る平面の方程式を標準形で求め、集合として表します。

2. 解き方の手順

(1) 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式を求める。

まず、直線ABの方向ベクトル $\vec{d}$ を求めます。

$\vec{d} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

直線ABのベクトル方程式は、パラメータ$t$を用いて、

$\vec{r} = \vec{A} + t\vec{d} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+2t \\ 2t \\ 1+2t \end{bmatrix}$

次に、直線を集合として表します。

$\left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \middle| \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+2t \\ 2t \\ 1+2t \end{bmatrix}, t \in \mathbb{R} \right\}$

(2) 3点A, B, Cを通る平面の方程式を求める。

まず、平面上の2つのベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求めます。

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$

次に、法線ベクトル $\vec{n}$ を求めます。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\cdot2 - 2\cdot0 \\ 2\cdot4 - 2\cdot2 \\ 2\cdot0 - 2\cdot4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \end{bmatrix}$

法線ベクトルを簡略化するために4で割ると、$\vec{n} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ となります。

平面の方程式は、$ax+by+cz=d$ の形で表され、$a, b, c$ は法線ベクトルの成分です。

したがって、平面の方程式は $x + y - 2z = d$ となります。

点Aを通るので、Aの座標を代入して $d$ を求めます。

$-1 + 0 - 2(1) = d$

$d = -3$

したがって、平面の方程式は $x + y - 2z = -3$ となります。

次に、平面を集合として表します。

$\left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \middle| x + y - 2z = -3 \right\}$

3. 最終的な答え

(1) 直線のベクトル方程式: $\vec{r} = \begin{bmatrix} -1+2t \\ 2t \\ 1+2t \end{bmatrix}$

直線の集合: $\left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \middle| \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+2t \\ 2t \\ 1+2t \end{bmatrix}, t \in \mathbb{R} \right\}$

(2) 平面の方程式: $x + y - 2z = -3$

平面の集合: $\left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \middle| x + y - 2z = -3 \right\}$