与えられた3つの角度$\theta$について、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値をそれぞれ求めます。 (1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$ (2) $\theta = \frac{11}{6}\pi$ (3) $\theta = -\frac{\pi}{3}$

1. 問題の内容

与えられた3つの角度$\theta$について、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値をそれぞれ求めます。

(1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$

(2) $\theta = \frac{11}{6}\pi$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$ の場合

$\frac{5}{4}\pi$は第3象限にあり、基準となる角度は$\frac{5}{4}\pi - \pi = \frac{\pi}{4}$ です。

第3象限では$\sin$と$\cos$が負、$\tan$が正です。

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

したがって、

$\sin(\frac{5}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{5}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(\frac{5}{4}\pi) = 1$

(2) $\theta = \frac{11}{6}\pi$ の場合

$\frac{11}{6}\pi$は第4象限にあり、基準となる角度は$2\pi - \frac{11}{6}\pi = \frac{\pi}{6}$です。

第4象限では$\cos$が正、$\sin$と$\tan$が負です。

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$、$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

したがって、

$\sin(\frac{11}{6}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\cos(\frac{11}{6}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\frac{11}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{3}$ の場合

$-\frac{\pi}{3}$は第4象限にあります。基準となる角度は$\frac{\pi}{3}$です。

第4象限では$\cos$が正、$\sin$と$\tan$が負です。

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$、$\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

したがって、

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$ のとき

$\sin(\frac{5}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{5}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(\frac{5}{4}\pi) = 1$

(2) $\theta = \frac{11}{6}\pi$ のとき

$\sin(\frac{11}{6}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\cos(\frac{11}{6}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\frac{11}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{3}$ のとき

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$