2つの円 $x^2 + y^2 = r^2$ と $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ が異なる2つの共有点を持つような、正の定数 $r$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = r^2$ と $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ が異なる2つの共有点を持つような、正の定数 $r$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つ目の円の方程式を変形して、中心と半径を求めます。

$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 4 = 0$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) - 9 + 4 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 5$

したがって、2つ目の円の中心は $(3, -2)$ であり、半径は $\sqrt{5}$ です。

1つ目の円の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $r$ です。

2つの円が異なる2つの共有点を持つためには、2つの円の中心間の距離 $d$ が、2つの円の半径の和 $r + \sqrt{5}$ よりも小さく、かつ2つの円の半径の差 $|r - \sqrt{5}|$ よりも大きい必要があります。つまり、

$|r - \sqrt{5}| < d < r + \sqrt{5}$

2つの円の中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

したがって、

$|r - \sqrt{5}| < \sqrt{13} < r + \sqrt{5}$

まず、$\sqrt{13} < r + \sqrt{5}$ より、

$r > \sqrt{13} - \sqrt{5}$

次に、$|r - \sqrt{5}| < \sqrt{13}$ より、

$-\sqrt{13} < r - \sqrt{5} < \sqrt{13}$

$\sqrt{5} - \sqrt{13} < r < \sqrt{5} + \sqrt{13}$

ここで、$r > 0$ であることに注意すると、$\sqrt{5} - \sqrt{13} < 0$ であるため、$r > \sqrt{5} - \sqrt{13}$ は常に成立します。

したがって、$r > \sqrt{13} - \sqrt{5}$ かつ $r < \sqrt{5} + \sqrt{13}$ より、

$\sqrt{13} - \sqrt{5} < r < \sqrt{13} + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{13} - \sqrt{5} < r < \sqrt{13} + \sqrt{5}$